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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Lösung der Radialgleichung für das Wasserstoffatom
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Beim Lösen der Radialgleichung für das [[Wasserstoffatom]] mit dem Potential $$V(r) = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$$ führen wir die Substitution $u(r) = r R(r)$ ein, was zu einer vereinfachten, dimensionslosen Differentialgleichung führt:
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$$\frac{\partial^2 u(\rho)}{\partial \rho^2} - \left(1 - \frac{2 u(\rho)}{\rho} + \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right) u(\rho) = 0$$
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Durch die Einführung der Energie des *Bohrschen* Atommodells [[Atommodelle]] $$E_n = - \frac{m e^4}{2 (4 \pi \epsilon_0)^2 \hbar^2} \frac{1}{n^2}$$ und der Umwandlung von $r$ zu $\rho$, erhalten wir eine Gleichung, die das Verhalten von $u$ für kleine und große $\rho$ berücksichtigt.
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# Ansatz zur Lösung
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Der Lösungsansatz $$u_n(\rho) = \rho^{l+1} e^{-\rho} G_s^l(\rho)$$ beinhaltet die *Laguerre-Polynome* $G_s^l$, welche für verschiedene Grade $s+1$ definiert sind. Diese Polynome erfüllen die Orthogonalitätsrelation, was zur Normalisierung der Wellenfunktion beiträgt:
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$$R_{nl}(\rho) = \mathcal{N}_{nl} e^{-\frac{\rho}{2}} \rho^l L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$
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Hierbei ist $\mathcal{N}_{nl}$ der Normierungsfaktor und $a_0$ der [[Bohrsche Radius]], der den Abstand beschreibt, bei dem die elektrostatische Anziehung und die Zentrifugalkraft im Gleichgewicht sind.
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# Quantenzahlen und Wahrscheinlichkeitsdichte
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Das Wasserstoffatom wird durch Quantenzahlen $n$, $l$, und $m$ charakterisiert, wobei die Gesamtwellenfunktion $$\psi_{nlm}(r, \theta, \varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \varphi)$$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem bestimmten Volumenelement zu finden, wird durch $$P_{nl}(r) = r^2 \left\lvert R_{nl}(r) \right\rvert^2$$ angegeben.
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## Lösungen
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*$R_{nl}$*
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![[radial-lsg.gif]]
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$P_{nl}$
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![[radial-wkt.gif]]
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# Energieeigenwerte und Ionisierungsenergie
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Die Energieeigenwerte, gegeben durch $$E_n = - \frac{\pu{{13.6} {eV}}}{n^2}$$, zeigen die möglichen Energieniveaus des [[Elektron]]s im Wasserstoffatom. Diese Energieeigenwerte sind unabhängig von den Quantenzahlen $l$ und $m$, was zu Entartung führt. Die Ionisierungsenergie, notwendig, um das Elektron vom Atom zu lösen, beträgt $$E_\text{ion} = \pu{{13.6} {eV}}.$$
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![[Ex4_0523_Hydrogen_energy_levels.png]]
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom |