Quartz sync: Mar 15, 2024, 1:23 PM
This commit is contained in:
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Überblick
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```timeline
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+ 400 v. Chr
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+ Teilchenmodell von Demokrit
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+ Postuliert die Existenz von unteilbaren Teilchen.
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+ 1803
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+ Dalton-Modell
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+ Geht von kleinsten unteilbaren Teilchen aus, welche sich je nach Element unterscheiden und nicht ineinander übergehen können.
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Bei chemischen Reaktionen können sich die *Atome* nur umordnen.
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+ 1903
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+ Thomsonsches Atommodell
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+ Das Atom besteht aus gleichmäßig verteilter positiver Ladung und negativen Elektronen die sich darin bewegen. Wird auch als *Rosinenkuchenmodell* bezeichnet. Kann erklären wie [[Röntgenstrahlung]] Materie durchdringen kann.
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+ 1912
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+ Barklas Schalenmodell
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+ Identifiziert die Absorptionsspektren von Röntgenstrahlen als charakteristisch für jedes Element und schlägt vor, dass diese Absorptionsspektren durch Elektronen in verschiedenen Schalen um den Atomkern verursacht werden. Begründet die Vorstellung von Elektronenschalen.
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+ 1913
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+ Bohrsches Atommodell
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+ Einführung von diskreten Energiebahnen (Schalen) für Elektronen um den Atomkern. Elektronen können zwischen diesen Bahnen wechseln und absorbieren oder emittieren dabei Energie in Form von Licht. Erklärt das Wasserstoffspektrum.
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+ 1916
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+ Sommerfeld-Erweiterung des Bohrschen Modells
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+ Führt elliptische Bahnen ein und erweitert das Bohrsche Modell um die Feinstruktur, welche durch relativistische Effekte erklärt wird. Berücksichtigt die Quantelung des Drehimpulses der Elektronen.
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```
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# Das erste Atommodell: *Rosinenkuchenmodell*
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Das Konzept des Atoms als eines Masseteilchens mit eingebetteten Elektronen wurde zuerst 1903 von *J.J. Thomson* vorgestellt. In diesem Modell wird das Atom als eine homogene Masse positiver Ladung beschrieben, in der die Elektronen ähnlich wie Rosinen in einem Kuchenteig verteilt sind.
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# Rutherfordsches Atommodell
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## Rutherford-Streuversuch
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Im Jahr 1909 revolutionierte *Ernest Rutherford* das Atommodell durch den nach ihm benannten Streuversuch [[Streuexperimente zur Strukturanalyse]]. Alpha-Teilchen wurden auf eine dünne Goldfolie geschossen, wobei einige Teilchen in unerwartete Richtungen abgelenkt wurden. Diese Beobachtungen führten zu einem neuen Verständnis der Atomstruktur, wobei der Atomkern als eine dichte Masse im Zentrum des Atoms identifiziert wurde. Die Berechnungen der Ablenkungen basieren auf der Annahme, dass die Masse des Kerns deutlich größer ist als die der Alpha-Teilchen. Die Gleichungen für die Kräfte, die auf die Alpha-Teilchen wirken, und die daraus resultierenden Bahnen wurden entwickelt, um diese Ablenkungen zu erklären. Die endgültige Formel für den Zusammenhang zwischen dem Ablenkwinkel und dem radialen Abstand des Teilchens zum Kern zeigt, dass der Atomkern viel kleiner ist als das gesamte Atom, was darauf hindeutet, dass Atome hauptsächlich leerer Raum sind.
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### Berechnung
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#### Streuquerschnitt
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![[Streuquerschnitt]]
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Unter den Annahmen, dass
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- Projekt und Target sind
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- punktförmig
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- besitzen keinen Spin
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- es kommt nur zur einfachen Streuung
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- elastische Streuung am Coulomb-Potential
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kann hergeleitet werden, dass
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$\frac{d \sigma}{d \Omega} \propto \sin^{-4}(\frac{\theta}{2})$. Genauer ist der differentielle Wirkungsquerschnitt definiert als
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$$
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\frac{d \sigma}{d \Omega} = (2 m_{e}Z \alpha)^{2}\frac{1}{q^{4}}\qquad \text{mit} \qquad q = 2 p \sin(\frac{\theta}{2})
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$$
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Da die Streuung aufgrund der geringen Energie der $\alpha$-Teilchen im Ruhterford-Prozess jedoch nur am $\frac{1}{r}$-Potential des Kerns geschieht, ist keine genaue Auflösung der Kernstruktur oder **-größe** möglich.
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Dies führte zu einem Vergleich mit dem Sonnensystem, bei dem die Elektronen um den Kern kreisen wie Planeten um die Sonne. Allerdings ergibt sich ein fundamentales Problem mit dieser Analogie: Nach den Gesetzen der klassischen Physik müssten sich bewegende Elektronen kontinuierlich Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung abgeben und schließlich in den Kern stürzen, was in der Realität nicht beobachtet wird. Dieser Widerspruch zur klassischen Physik deutet auf die Notwendigkeit einer neuen Theorie hin, die später als Quantenmechanik bekannt wurde.
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### Verfeinerung des Rutherford-Streuexperiments
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Das Rutherford-Streuexperiment betrachtet den Atomkern als punktförmig und ignoriert die Elektronenhülle, was für das Auflösungsvermögen meist ausreichend ist. Wir verfeinern nun diese Anschauung durch die Integration korrekter Wellenfunktionen und die Nutzung elektromagnetischer Wellen. Dabei vereinfachen wir die Wellen im Fernfeld als ebene Wellen ([[Schrödingergleichung#Erster Lösungsansatz der Schrödingergleichung]]).
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# Potential eines Atoms und das Bohrsche Atommodell
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#todo/rewrite
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Die Vorstellung, dass Elektronen in diskreten Bahnen um den Atomkern kreisen und dabei charakteristische Energieniveaus besetzen, wurde durch das Bohrsche Atommodell geprägt. Dieses Modell basiert auf der Coulombkraft und der Annahme, dass Elektronen nur bestimmte, durch stehende Wellen definierte, Bahnen einnehmen können. Es resultiert in diskreten Energieniveaus, die durch die verbesserte Rydberg-Formel, unter Berücksichtigung der reduzierten Masse, exakt beschrieben werden können:
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$$R_H = \frac{m_r c^2}{2} \alpha^2 Z^2$$
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Bohr stellt dabei **3 Postulate** auf:
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1. Dem Elektron stehen nicht alle klassisch möglichen Bahnen zur Verfügung, sondern nur bestimmte ausgewählte von ihnen. Auf diesen Bahnen erzeugt es keine elektromagnetische Strahlung, sondern behält seine Energie. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.
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2. Das Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Dieser als Quantensprung bezeichnete Vorgang liegt außerhalb des Gültigkeitsbereichs der klassischen Mechanik und der Elektrodynamik. Beim Quantensprung zwischen stationären Zuständen mit verschiedener Energie, den Energieniveaus, wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Dabei wird die Frequenz $f$ der Strahlung nicht durch die Umlauffrequenz des Elektrons bestimmt, sondern ausschließlich durch die Energiedifferenz $\Delta E$ der beiden Zustände nach der von Max Planck für die Wärmestrahlung entdeckten Formel $f = \frac{\Delta E}{h}$
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3. Die Frequenz der erzeugten oder absorbierten Strahlung nähert sich der Umlauffrequenz des Elektrons an, wenn sich das Elektron im Anfangszustand nur langsam bewegt und in den energetisch nächstgelegenen Zustand springt.
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Das Bohrsche Atommodell und die damit verbundenen Entdeckungen bildeten die Grundlage für die Entwicklung der Quantenmechanik und die damit einhergehenden Berechnungen des [[Wasserstoffatom]]s. Sie zeigten, dass die Eigenschaften von Atomen und die Emission von Licht auf quantenmechanischen Prinzipien beruhen und nicht auf kontinuierlichen klassischen Vorstellungen.
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Diese Entwicklungen haben unser Verständnis der Materie grundlegend verändert und den Weg für die moderne Physik geebnet, indem sie zeigten, dass im Mikrokosmos quantenmechanische Gesetze und nicht klassische Mechanik herrschen.
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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Wie helfen uns die Eigenschaften des [[Drehimpuls in der Quantenmechanik]] aber im Folgenden bei der Lösung der Schrödingergleichung? Dazu betrachten wir die Darstellung des Gesamtdrehimpulses $\hat{l}^2$ in Kugelkoordinaten. Es gilt $$\hat{l}^2 = - \hbar^2 \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}\right)$$ Dieser Ausdruck ist bereits aus der Schrödingergleichung des [[Wasserstoffatom]]s bekannt. Diese wird somit zu $$\begin{aligned}
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\frac{1}{R(r)} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r} \right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2} \left(E - V(r) \right)\\=\\
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\frac{1}{Y(\theta, \varphi)} \frac{1}{\hbar^2} \underbrace{\hat{l}^2}_{= \hbar^2 l (l+1)} Y(\theta, \varphi)
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\end{aligned}$$ Wir haben die Separationskonstante der Gleichung gefunden und die verbleibende Differentialgleichung ist gegeben durch die [[Radialgleichung]]$$
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\frac{1}{R(r)} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r} \right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2} \left(E - V(r) \right) = l (l+1)$$
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Zunächst betrachten wir jedoch die Differentialgleichung für die Winkelanteile. Wir haben gefunden, dass $$\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin{\theta} \frac{\partial }{\partial \theta} Y(\theta, \varphi)\right) + \frac{1}{\sin^2{\theta}} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} Y(\theta, \varphi) = - l (l+1) Y(\theta, \varphi)$$ Erneut separieren (siehe [[Separationsansatz]]) wir die Gleichung, da es zwei unabhängige Variablen gibt. Die Annahme, welche im folgenden gelte sei, dass $Y$ dargestellt werden kann als $$Y(\theta, \varphi) = \Theta(\theta) \Phi(\varphi)$$ Dann gilt $$\sin^2{\theta} \left(\frac{1}{\Theta(\theta) \sin{\theta}} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin{\theta} \frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial \theta}\right) + l(l+1)\right) = - \frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{\partial^2 \Phi(\varphi)}{\partial \varphi^2}$$
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# Azimutalgleichung
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Als Separationskonstante fordern wir den verbleibenden Eigenwert, wodurch wir die Azimutalgleichung finden als $$- \frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{\partial^2 \Phi(\varphi)}{\partial \varphi^2} = m^2$$ Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch $$\Phi_m(\varphi) = A e^{i m \varphi}$$ mit der weiteren Bedingung, dass $\Phi_m(\varphi) = \Phi_m(\varphi + 2 \pi)$. Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, falls $m$ ein ganzzahliger Wert ist. Außerdem finden wir somit, dass $l$ ebenfalls ein ganzzahliger Wert sein muss. Es muss also für unsere Koeffizienten gelten $$\Rightarrow \left\lvert m \right\rvert \leq l: \quad m \in \mathbb{Z}, \quad l \in \mathbb{N}_0$$ $m$ nennt man die magnetische Quantenzahl und ist Eigenwert von $\hat{l}_z$ mit $$\hat{l}_z \left\lvert \psi_{lm} \right\rangle = \hbar m \left\lvert \psi_{lm} \right\rangle \qquad \Rightarrow \langle \hat{l}_z \rangle = \hbar m$$ Zudem können wir die Normierungskonstante $A$ bestimmen. Es muss gelten $$\int_0^{2 \pi} \left\lvert \Phi_m(\varphi) \right\rvert^2 \mathrm{d}{\varphi} = 2 \pi A^2 \overset{!}{=} 1 \quad \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$$ Die Lösung der Differentialgleichung für die Azimutalanteile ist somit gegeben durch $$\Phi_m(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} \quad \text{mit} \quad m \in \mathbb{Z}: \quad \left\lvert m \right\rvert \leq l$$
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# Polargleichung
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Wir betrachten nun die **Polargleichung**. Diese ist gegeben durch $$\sin^2{\theta} \left(\frac{1}{\Theta(\theta) \sin{\theta}} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin{\theta} \frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial \theta}\right) + l(l+1)\right) = m^2$$ Für $l = m = 0$ ist die Differentialgleichung trivial und die Lösung ist gegeben durch $$\Theta(\theta) \equiv \text{const.}$$ Für alle anderen Fälle sei ohne Beweis die Lösung gegeben durch $$\Theta(\theta) = \mathcal{N}_l^m P_l^m(\cos{\theta})$$ mit dem Normierungsfaktor $\mathcal{N}_l^m$ welcher gegeben sei durch $$\mathcal{N}_l^m = \sqrt{\frac{2 l +1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$$ $P_l^m$ sind die zugeordneten *Legendre*-Polynome sind gegeben durch $$P_0^0(x)= 1, \quad P_1^0(x) = x, \quad P_2^0(x) = \frac{1}{2} \left(3x^2 - 1\right), \quad P_3^0(x) = \frac{1}{2} \left(5 x^3 - 3x\right), \dots$$ Für $m \neq 0$ sind dann die zugeordneten Polynome definiert durch $$P_l^m(x) = \left(1 - x^2\right)^{\frac{m}{2}} \frac{\partial^m }{\partial x^m} P_l^0(x)$$ Die gesamte Kugelflächenfunktion $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ ist somit gegeben durch $$Y_{lm}(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos{\theta}) e^{i m \varphi}$$ Die Kugelflächenfunktionen bilden dabei eine vollständige Basis zur Entwicklung einer beliebigen Funktion auf der Sphäre. Sie sind normiert und orthogonal, also $$\left\langle Y_{l'm'}(\theta, \varphi) \middle\vert Y_{lm}(\theta, \varphi) \right\rangle = \delta_{l l'} \delta_{m m'}$$ $l$ und $m$ hängen mit den Eigenwerten zu $\hat{l}^2$ und $\hat{l}_z$ dabei direkt zusammen über $$\hat{l}^2: \hbar l (l+1) \qquad \hat{l}_z: \hbar m$$
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Im folgenden definieren wir außerdem den [[Parität]]soperator $\hat{P}$ als $$\hat{P}(\vec{r}) = - \vec{r}$$ und es gilt für die Kugelflächenfunktion $$\hat{P}Y_{lm} = (-1)^l Y_{lm}$$
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Wenn $l$ gerade ist, so gibt es eine gerade, bzw positive Parität und im Fall, dass $l$ ungerade, eine ungerade/negative Parität.
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Die ersten Kugelflächenfunktionen sind in abgebildet, wobei jeweils nur der reelwertige Anteil dargestellt ist. Blaue Teile sind positive Werte, gelbe negative. Somit ist auch die [[Parität]] direkt ersichtlich.
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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#class/Ex-IV #begriffsdefinition #wasserstoffatom
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Der bohrsche Radius $a_0$ bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale im Rahmen des bohrschen Atommodells; dabei bleibt die kleine Korrektur, die der Mitbewegung des Atomkerns um den Schwerpunkt entspricht, noch unberücksichtigt.
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Er kann berechnet werden als
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$$
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a_{0} = \frac{4 \pi \epsilon_{0}\hbar^{2}}{e^{2}m_{e}} \approx \pu{5,291772e-11 m}
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$$
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*Folder tags:*
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#folder-Wasserstoffatom
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@@ -0,0 +1,64 @@
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Spin-Bahn-Kopplung
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In der klassischen Betrachtung, wenn man in das Bezugssystem eines rotierenden [[Elektron]] wechselt, entsteht ein Strom durch das rotierende Proton, was zu einem magnetischen Feld führt:
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$$
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\vec{B}_e = \frac{e \mu_0}{4 \pi r^3 m_e} \vec{l}_e
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$$
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Daraus resultiert ein Spin-Bahn-Kopplungspotential:
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$$
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\hat{V}_{ls} = - \frac{e^2 \mu_0}{8 \pi m_e^2} \frac{1}{r^3} \hat{l}\hat{s}
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$$
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Dieses Potential verknüpft den Bahndrehimpuls $\hat{l}$ mit dem [[Spin des Elektrons]] $\hat{s}$, wodurch die Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms beeinflusst werden:
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$$
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\hat{H}= \hat{H}_\text{klass} + \hat{V}_{ls}
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$$
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Die [[Gesamtdrehimpuls]]erhaltung ermöglicht die Betrachtung neuer Quantenzahlen, die mit dem Hamiltonoperator kommutieren, einschließlich des Gesamtdrehimpulses $\hat{\jmath} = \hat{l} + \hat{s}$.
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![[Ex4_0623_SpinBahn.png]]
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# Störungstheorie
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Die [[Störungstheorie]] hilft bei der Berechnung der Energiekorrekturen durch die **Spin-Bahn-Kopplung**, wobei der Störungsterm $\hat{V}_{ls}$ betrachtet wird. Die erste Ordnung der Energiestörung ergibt sich zu:
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$$
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\Delta E_{ls} = \langle \hat{l}\hat{s} \rangle_{ljm_j} \cdot \langle \xi(r) \rangle_{nl}
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$$
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Die Analyse ergibt unterschiedliche Energiekorrekturen für $j = l + \frac{1}{2}$ und $j = l - \frac{1}{2}$, was zur [[Aufspaltung]] der Energieniveaus führt.
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# Berechnung der Störung durch Spin-Bahn-Kopplung
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Die Energieaufspaltung für die Zustände mit $n=2$ und $l=1$ wird exemplarisch untersucht, wobei die Aufspaltung symmetrisch um den Linienschwerpunkt der Energien liegt. Die Berechnung der Störung ergibt:
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$$
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\Delta E_{ls} = \frac{\hbar^2}{2} \left(j (j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}\right) \langle \xi(r) \rangle_{nl}
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$$
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# Relativistische Korrekturen
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Die relativistischen Korrekturen führen zu weiteren Anpassungen der Energieeigenwerte, einschließlich der Feinstrukturkorrektur:
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$$
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\Delta E_{FS} = -\frac{mc^2}{2} \frac{\alpha^4}{n^3} \left(\frac{1}{j+\tfrac{1}{2}} - \frac{3}{4n}\right)
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$$
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Dies führt zu einer korrigierten Energieformel, die die Feinstrukturkorrektur berücksichtigt:
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$$
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E_{nj} = E_n \left(1 + \frac{\alpha^2}{n} \left(\frac{1}{j + \tfrac{1}{2}} - \frac{3}{4n}\right)\right)
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$$
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![[Ex4_0623_Feinstruktur.png]]
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Energiekorrektur aufgrund des Kernspins
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Die bisherigen Korrekturen der Energieniveaus des Wasserstoffatoms sind bis zu einer Größenordnung von $10^{-4}$ eV genau. Bei spektroskopischen Messungen im Bereich von $10^{-6}$ eV treten jedoch Abweichungen auf (siehe [[Einheiten und Größenordnungen]]). Diese lassen sich durch die Berücksichtigung des **Kernspins** des Protons erklären. Das Proton, als Kern des Wasserstoffatoms, besitzt ein magnetisches Moment analog zum Elektron, definiert durch die Gleichungen $\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e}$ für das Elektron und $\mu_K = \frac{e \hbar}{2 m_p}$ für das Proton. Mit einem experimentell bestimmten *g*-Faktor des Protons von 5.58 ergibt sich ein Verhältnis der magnetischen Momente von etwa 658. Die Dipol-Dipol-Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron führt zu einer Energiekorrektur von ca. $10^{-6}$ eV.
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Die Quantenzahlen, die den Zustand eines Wasserstoffatoms nach den Korrekturen beschreiben, umfassen die Hauptquantenzahl $n$, die Bahndrehimpulsquantenzahl $l$, die Spinquantenzahl $s$, und die [[Gesamtdrehimpuls]]quantenzahl $j$. Der [[Gesamtdrehimpuls]] des Atoms wird mit $F$ beschrieben, und für Wasserstoffatome gilt $F = j \pm \frac{1}{2}$, wobei der [[Gesamtdrehimpuls#Kernspin]] $I = \frac{1}{2}$ ist.
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![[kernspins.png]]
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Die Stärke des Magnetfeldes am Kernort ($r=0$) wird durch $\left|\vec{B}_0\right| = \frac{8}{3} \pi g_s s \mu_B \left|\psi_{n0}(0)\right|^2$ beschrieben. Die Konstante $A$, die in der Energiekorrekturformel auftaucht, ist schwer zu bestimmen, aber für den Zustand $1s$ wird sie auf etwa $5.87 \times 10^{-6}$ eV geschätzt, was einer Frequenz von ca. 1420,4 MHz und einer Wellenlänge von 21 cm entspricht. Diese Wellenlänge ist besonders in der **Radioastronomie** und bei der Untersuchung der **H-I-Linie** von Bedeutung, da sie Einblicke in die Zusammensetzung des Universums ermöglicht, ohne durch interstellaren Staub beeinträchtigt zu werden.
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## Lamb-Shift
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Der **Lamb-Shift**, entdeckt von *Willis Lamb* und *Robert Retherford*, ist eine weitere Korrektur der Energieniveaus, die aus der Wechselwirkung der Elementarteilchen mit dem Vakuum resultiert, basierend auf der **Quantenelektrodynamik** und der **Quantenfeldtheorie**. Dargestellt durch Feynman-Diagramme, sind die drei größten Beiträge die Selbstenergie des Elektrons, die Vakuumpolarisation und die Vertexkorrektur. Diese Korrekturen zeigen, dass der Faktor $g_s$ zu $2 \left(1 + \frac{\alpha}{2 \pi} - 0.328 \frac{\alpha^2}{\pi^2} + \ldots\right) \neq 2$ korrigiert werden muss. Theoretische Berechnungen und experimentelle Messungen von $g_s - 2$ zeigen eine sehr gute Übereinstimmung, aber leichte Abweichungen weisen auf das komplexe Verhalten der Quantenelektrodynamik hin. Der **Lamb-Shift** hebt zudem die Entartung zwischen den Zuständen $2s_{\frac{1}{2}}$ und $2p_{\frac{1}{2}}$ auf und verändert die Bindungsenergie durch eine Absenkung des $\frac{1}{r}$-Potentials, was eine Änderung der Bindungsenergie um ca. $4.4 \times 10^{-6}$ eV zur Folge hat.
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![[Ex4_0623_Vertex_correction.svg.png]]
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![[Ex4_0623_Vacuum_polarization.svg.png]]
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![[Ex4_0623_SelfE.svg.png]]
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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@@ -0,0 +1,29 @@
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#class/Ex-IV #molekülphysik #wasserstoffatom
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# Molekülphysik und Photonenanregung
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Die Anregung eines Moleküls durch ein Photon führt zu Änderungen in der Elektronenkonfiguration und somit auch im Atomabstand innerhalb des Moleküls.
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![[Born-Oppenheimer-Näherung]]
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## Dipolübergänge
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Dipolübergänge im Molekül werden durch die Erwartungswerte $\langle x \rangle_{fi}$ beschrieben, die sich aus zwei Hauptkomponenten zusammensetzen:
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- Optische Übergänge, bei denen sich die Elektronenkonfiguration ändert, während die Kernpositionen konstant bleiben.
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- Vibratorische Übergänge, bei denen die Kernpositionen variieren, was im Infrarotbereich beobachtet werden kann.
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Siehe auch **[[Dipolübergänge]]**
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## Franck-Condon-Prinzip
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Das Franck-Condon-Prinzip, benannt nach *James Franck* und *Edward Condon*, besagt, dass während eines Elektronenübergangs die Kernabstände als nahezu unverändert betrachtet werden können. Dieses Prinzip ist entscheidend für das Verständnis von Vibrationsübergängen in Molekülen und ihrer Darstellung in Spektren.
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Durch die Kombination dieser theoretischen Grundlagen können wir die komplexen Prozesse der Molekülphysik und die Auswirkungen von Photonenanregungen auf Moleküle tiefgehend verstehen.
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![[Ex4_0923_Franck_Condon.png]]
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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@@ -0,0 +1,14 @@
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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Der [[Zeeman-Effekt]] ist beschränkt auf die Anwendung in schwachen Magnetfeldern. Für starke Magnetfelder, bei denen das äußere Feld die interne Kopplung zwischen dem Bahndrehimpuls $\hat{l}$ und dem [[Spin des Elektrons]] $\hat{s}$ überwiegt, tritt eine andere Verhaltensweise auf. Dieses Phänomen, bekannt als der ***Paschen-Back*-Effekt**, wurde 1921 von *Friedrich Paschen* und *Ernst Back* entdeckt. Im Vergleich zum [[Zeeman-Effekt]], der eine lineare [[Aufspaltung]] der Energieniveaus in schwachen Magnetfeldern beschreibt, zeigt der Paschen-Back-Effekt eine komplexe Aufspaltung in starken Magnetfeldern. Die störungstheoretische Erweiterung ([[Störungstheorie]]) des Zeeman-Effekts führt zu einer nichtlinearen [[Aufspaltung]] der Energieniveaus, die nicht mehr durch die einfache lineare Näherung erfasst werden kann.
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Für große externe Felder weicht die Aufspaltung von der im [[Zeeman-Effekt]] beschriebenen Linearität ab. Dies markiert den Übergang vom Zeeman-Effekt zum Paschen-Back-Effekt, bei dem Bahndrehimpuls und Spin unabhängig voneinander in Bezug auf das äußere Magnetfeld ausgerichtet werden.
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Lösung der Radialgleichung für das Wasserstoffatom
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Beim Lösen der Radialgleichung für das [[Wasserstoffatom]] mit dem Potential $$V(r) = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$$ führen wir die Substitution $u(r) = r R(r)$ ein, was zu einer vereinfachten, dimensionslosen Differentialgleichung führt:
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$$\frac{\partial^2 u(\rho)}{\partial \rho^2} - \left(1 - \frac{2 u(\rho)}{\rho} + \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right) u(\rho) = 0$$
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Durch die Einführung der Energie des *Bohrschen* Atommodells [[Atommodelle]] $$E_n = - \frac{m e^4}{2 (4 \pi \epsilon_0)^2 \hbar^2} \frac{1}{n^2}$$ und der Umwandlung von $r$ zu $\rho$, erhalten wir eine Gleichung, die das Verhalten von $u$ für kleine und große $\rho$ berücksichtigt.
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# Ansatz zur Lösung
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Der Lösungsansatz $$u_n(\rho) = \rho^{l+1} e^{-\rho} G_s^l(\rho)$$ beinhaltet die *Laguerre-Polynome* $G_s^l$, welche für verschiedene Grade $s+1$ definiert sind. Diese Polynome erfüllen die Orthogonalitätsrelation, was zur Normalisierung der Wellenfunktion beiträgt:
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$$R_{nl}(\rho) = \mathcal{N}_{nl} e^{-\frac{\rho}{2}} \rho^l L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$
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Hierbei ist $\mathcal{N}_{nl}$ der Normierungsfaktor und $a_0$ der [[Bohrsche Radius]], der den Abstand beschreibt, bei dem die elektrostatische Anziehung und die Zentrifugalkraft im Gleichgewicht sind.
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# Quantenzahlen und Wahrscheinlichkeitsdichte
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Das Wasserstoffatom wird durch Quantenzahlen $n$, $l$, und $m$ charakterisiert, wobei die Gesamtwellenfunktion $$\psi_{nlm}(r, \theta, \varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \varphi)$$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem bestimmten Volumenelement zu finden, wird durch $$P_{nl}(r) = r^2 \left\lvert R_{nl}(r) \right\rvert^2$$ angegeben.
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## Lösungen
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*$R_{nl}$*
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![[radial-lsg.gif]]
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$P_{nl}$
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![[radial-wkt.gif]]
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# Energieeigenwerte und Ionisierungsenergie
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Die Energieeigenwerte, gegeben durch $$E_n = - \frac{\pu{{13.6} {eV}}}{n^2}$$, zeigen die möglichen Energieniveaus des [[Elektron]]s im Wasserstoffatom. Diese Energieeigenwerte sind unabhängig von den Quantenzahlen $l$ und $m$, was zu Entartung führt. Die Ionisierungsenergie, notwendig, um das Elektron vom Atom zu lösen, beträgt $$E_\text{ion} = \pu{{13.6} {eV}}.$$
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![[Ex4_0523_Hydrogen_energy_levels.png]]
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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Das gedachte Bild des Wasserstoffatoms ist das eines [[Elektron]]s, das um einen Kern kreist. Siehe hierzu auch die Entwicklung der [[Atommodelle]]. Der zugehörige Hamiltonian kann in Kugelkoordinaten geschrieben werden als $$\hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(r)$$ mit dem Potential $$V = V(\left\lvert \vec{r} \right\rvert)$$ handelt es sich um ein **Zentralkörperproblem**. Im Falle des Wasserstoffatoms ist das Potential $$V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$ und als Masse nutzen wir die reduzierte Masse $$m = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p},$$ da wir bereits aus der klassischen Mechanik wissen, dass auch das Proton eine wenn auch minimale Schwerpunktsbewegung ausführt. Der Hamiltonoperator ergibt sich in Kugelkoordinaten zu $$\begin{aligned}
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\hat{H}&= - \frac{\hbar^2}{2m} \vec{\nabla}^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \\
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&= - \frac{\hbar^2}{2m} \left[\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial }{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right] - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}
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\end{aligned}$$ Unser Hamiltonoperator ist nicht direkt von der Zeit abhängig, weshalb die zeitunabhängige Schrödingergleichung gilt $$\hat{H}\psi = E \psi \Leftrightarrow \left(\hat{H}- E\right) \psi = 0$$ Somit folgt $$\begin{aligned}
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\left( \hat{H}- E \right) &\psi(r, \theta, \varphi) &= 0 \\
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\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial }{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right)\right. \right. \quad\\
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\left. \left. + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right) + V(r) - E \right] &\psi(r, \theta, \varphi)&= 0\\
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\left[\left(- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial }{\partial r} \right) + V(r) - E \right)\right. \quad \\
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\left. - \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right) \right] &\psi(r, \theta, \varphi) &= 0
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\end{aligned}$$ Nun versuchen wir die Schrödingergleichung zu separieren (siehe [[Separationsansatz]]. Hierfür separieren wir die $\theta$ und $\varphi$ Abhängigkeiten auf die rechte Seite und die $r$ Abhängigkeit auf die linke Seite. Wir erhalten $$\begin{aligned}
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\left(- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial }{\partial r} \right) + V(r) - E \right) \psi(r, \theta, \varphi)\\
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= \\
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\left(\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right) \right) \psi(r, \theta, \varphi)
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\end{aligned}$$ Als [[Separationsansatz]] wählen wir $$\psi(r, \theta, \varphi) = R(r) Y(\theta, \varphi)$$ Wenn wir im folgenden mit $- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{r^2}{R(r) Y(\theta, \varphi)}$ die Gleichung multiplizieren, erhalten wir $$
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\begin{aligned}
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\frac{1}{R(r)} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r} \right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2} \left(E - V(r) \right)\\=\\
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-\frac{1}{Y(\theta, \varphi)} \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial Y(\theta, \varphi)}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y(\theta, \varphi)}{\partial \varphi^2} \right)\\
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\equiv \text{const.}\forall (r, \theta, \varphi)
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\end{aligned}$$
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![[Ex4_0423_Wasserstoff-Termschema.svg.png]]
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Anormaler Zeeman-Effekt
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Der anormale [[Zeeman-Effekt]] wurde 1896 von *Pieter Zeeman* entdeckt, als er beobachtete, wie sich die Spektrallinien von Atomen ([[Atomspektren]]) in einem magnetischen Feld aufspalten. Diese Entdeckung brachte ihm 1902 den Nobelpreis ein. Im Gegensatz zum normalen Zeeman-Effekt, bei dem der Spin des [[Elektron]]s vernachlässigt wird, berücksichtigt der anormale Zeeman-Effekt diesen zusätzlichen Faktor.
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In der Erweiterung unserer mathematischen Betrachtung zur Herleitung der endgültigen [[Aufspaltung]] führen wir Terme für das äußere Magnetfeld in die Schrödingergleichung ein. Wir konzentrieren uns auf die Ausrichtung entlang der $z$-Achse und ergänzen die Potentialausdrücke für den Bahndrehimpuls $\hat{V}_{\text{mag}, l}$, den Spin $\hat{V}_{\text{mag}, s}$ und den Gesamtdrehimpuls $\hat{V}_{\text{mag}, j}$. Mit $g_l = 1$ und $g_s \approx 2$ leiten wir her, dass der *Landé*-Faktor $g_j$ von den Quantenzahlen abhängt und die Energieaufspaltung in einem Magnetfeld bestimmt.
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Die Energieaufspaltung in einem Magnetfeld $B_z$ wird durch den *Landé*-Faktor $g_j$ ausgedrückt, der sich aus der Beziehung zwischen den magnetischen Momenten und den Drehimpulsen ableitet. Für $l=0$ folgt $g_j = 2$ und für $s= 0$ folgt $g_j = 1$, was zeigt, dass $g_j$ von den Quantenzahlen $l$, $s$ und $j$ abhängt.
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Die Berechnung von $g_j$ berücksichtigt die komplexen Wechselwirkungen zwischen Bahndrehimpuls und Spin und ermöglicht die Vorhersage der Energiedifferenzen der Zustände im Magnetfeld. Dies illustriert die Unterschiede zwischen dem normalen und dem anormalen Zeeman-Effekt und zeigt die Bedeutung von Quantenzahlen und Spin in der Quantenmechanik.
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*Folder tags:*
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#folder/Wasserstoffatom
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Reference in New Issue
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