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@@ -20,7 +20,7 @@ copyright: Copyright © 2020 Lars Bogner
 # Analysis
 ## Funktionstypen
 ### ganzrationale Funktionen
-Unter ganzrationalen Funktionen versteht man einen Typ von Funktionen, welcher eine Summe aus Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten sind. Sie sind also wie folgt aufgebaut: $$f(x) = a_n * x^n + .... + a_1 * x^1 + a_0; n \in \mathbb{N}$$. Dabei gibt $n$ an, von welchem Grad diese Funktion ist. $n$ ist immer äquivalent mit dem größten Exponenten. Beispielsweise ist $f(x) = -2x^3+4$ vom Grad 3.  
+Unter ganzrationalen Funktionen versteht man einen Typ von Funktionen, welcher eine Summe aus Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten sind. Sie sind also wie folgt aufgebaut: $$f(x) = a_n * x^n + .... + a_1 * x^1 + a_0; \hspace{40pt} n \in \mathbb{N}$$. Dabei gibt $n$ an, von welchem Grad diese Funktion ist. $n$ ist immer äquivalent mit dem größten Exponenten. Auch wird der Faktor vor der Potenz mit höchstem Exponent Leitkoeffizient genannt. Beispielsweise ist $f(x) = -2x^3+4$ vom Grad 3 und besitzt den Leitkoeffizient -2.  
 
 Eine Funktion vom Grad $n$ kann dabei des Weiteren maximal $n$ Nullstellen besitzen.  
 Auch ist eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geradzahligen Exponenten immer achsensymmetrisch zur y-Achse und eine mit nur ungeradzahligen Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung.
@@ -30,31 +30,125 @@ Der Begriff Exponentialfunktion bezeichnet eine Funktion, welche die Variable im
 
 ### trigonometrische Funktionen
 Die trigonometrischen Funktionen beschreiben das Verhältnis zwischen der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Zu ihnen gehören $\sin, \cos, \tan$. All diese Funktionen sind periodisch und haben in ungestrecktem Zustand eine Periodenlänge von $2 \pi$ bei Sinus und Kosinus, bzw. $\pi$ beim Tangens, im Bogenmaß (`rad`).  
-Sie beschreiben dabei das Verhältnis der folgenden Seiten: $$\sin{(x)} = \frac{|Gegenkathete|}{|Hypotenuse|}$$ $$\cos{(x)} = \frac{|Ankathete|}{|Hypotenuse|}$$ $$\tan{(x)} = \frac{|Gegenkathete|}{|Ankathete|}$$.  
-Verallgemeinert können die trigonometrischen Funktionen am Beispiel des Sinus zu folgender Gleichung: $$f(x) = a * \sin{(b * (x-c))} + d$$. Dabei verändern die Parameter die Graphen wie folgt:  
+Sie beschreiben dabei das Verhältnis der folgenden Seiten: $$\sin{(x)} = \frac{|Gegenkathete|}{|Hypotenuse|}$$ $$\cos{(x)} = \frac{|Ankathete|}{|Hypotenuse|}$$ $$\tan{(x)} = \frac{|Gegenkathete|}{|Ankathete|} ( = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}})$$.  
+Verallgemeinert können die trigonometrischen Funktionen am Beispiel des Sinus zu folgender Gleichung: $$f(x) = a * \sin{(b * (x-c))} + d; \hspace{40pt} a, c, d \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R^+}$$. Dabei verändern die Parameter die Graphen wie folgt (vgl. [Abschnitt Wirkung von Parametern](#wirkung-von-parametern):  
 
 $a$  
-: Es kommt zu Streckung ($a>1$), bzw. Stauchung ($a<1$) in y-Richtung.  
-: > Der Graph der Funktion wurde um den Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt/gestaucht. Die entstandene Amplitude entspricht $a$.
+: Es kommt zu Streckung ($|a|>1$), bzw. Stauchung ($|a|<1$) in y-Richtung. Bei $a<0$ kommt es zur Spiegelung an der x-Achse.  
+: > Der Graph der Sinusfunktion wurde um den Faktor $|a|$, bzw. $\frac{1}{|a|}$ in y-Richtung gestreckt/gestaucht. Die entstandene Amplitude entspricht $a$. Der Graph wurde an der x-Achse gespiegelt
 
 $b$  
-: Es kommt zu Streckung ($b<1$), bzw. Stauchung ($a>1$) in x-Richtung. Die Periode der Funktion beträgt dabei immer $p = \frac{2 \pi}{b}$. **-> desto kleiner b, desto größer die Periodenlänge**
-: > Der Graph der Funktion wurde um den Faktor $b$ in y-Richtung gestaucht. Die entstandene Periodendauer entspricht $\frac{2 \pi}{b}$.
+: Es kommt zu Streckung ($b<1$), bzw. Stauchung ($b>1$) in x-Richtung. Die Periode der Funktion beträgt dabei immer $p = \frac{2 \pi}{b}$. **-> desto kleiner b, desto größer die Periodenlänge**
+: > Der Graph der Sinusfunktion wurde um den Faktor $1/b$, bzw. $b$ in y-Richtung gestreckt/gestaucht. Die entstandene Periodendauer entspricht $\frac{2 \pi}{b}$.
 
 $c$  
 : Es kommt zur Verschiebung in x-Richtung, nach links ($c<0$) bzw. rechts ($c>0$).
-: > Der Graph der Funktion wurde um $c$ nach links/rechts verschoben.
+: > Der Graph der Sinusfunktion wurde um $|c|$ nach links/rechts verschoben.
 
 $d$  
 : Es kommt zur Verschiebung in y-Richtung nach oben ($d>1$), bzw. unten ($d<1$).
-: > Der Graph der Funktion wurde um $d$ nach oben/unten verschoben.
+: > Der Graph der Sinusfunktion wurde um $|d|$ nach oben/unten verschoben.
 
 
-Abbildung(vgl. Abbildung trigonometrische Funktionen) der trigonometrischen Funktionen im Koordinatensystem. $f(x)= \sin{(x)}; g(x) = \cos{(x)}; h(x) = \tan{(x)}$  
+Abbildung(vgl. Abbildung trigonometrische Funktionen) der trigonometrischen Funktionen im Koordinatensystem. $f(x)= \sin{(x)}; \hspace{40pt} g(x) = \cos{(x)}; \hspace{40pt} h(x) = \tan{(x)}$  
 
 ![trigonometrische Funktionen](assets/Trigonometrie.png)
 
+wichtige Werte der trigonometrischen Funktionen:  
+
+| $x$         | $0$ | $\frac{\pi}{4}$                    | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3 \pi}{4}$                    | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$   | $2\pi$ |
+|-------------|-----|------------------------------------|-----------------|--------------------------------------|-------|---------------------|--------|
+| $\sin{(x)}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ | $1$             | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$   | $0$   | $-1$                | $0$    |
+| $\cos{(x)}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ | $0$             | $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,707$ | $-1$  | $0$                 | $1$    |
+| $\tan{(x)}$ | $0$ | $1$                                | $\pm \infty$    | $-1$                                 | $0$   | $\pm \infty$        | 0      |
+
 ### Potenzfunktionen
+Potenzfunktionen sind Funktionen nach dem folgenden Schema: $$f(x) = a * x^n; \hspace{40pt} n \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R}$$. Sie sind die Basis ganzrationaler Funktionen.
+
+### einfache gebrochen-rationale Funktionen
+
+## Wirkung von Parametern
+Bei einer veränderten Funktion $g(x)$ ausgehend von $f(x)$, nach dem folgenden Schema: $$g(x) = a * f(b * (x-c)) + d; \hspace{40pt} a, b, c, d \in \mathbb{R}$$.
+
+$a$  
+: Es kommt zu Streckung ($|a|>1$), bzw. Stauchung ($|a|<1$) in y-Richtung. Bei $a<0$ kommt es zur Spiegelung an der x-Achse.  
+
+$b$  
+: Es kommt zu Streckung ($|b|<1$), bzw. Stauchung ($|b|>1$) in x-Richtung (**umgekehrte Richtung wie bei a**). Bei $b<0$ kommt es zur Spiegelung an der x-Achse.
+
+$c$  
+: Es kommt zur Verschiebung in x-Richtung, nach links ($c<0$) bzw. rechts ($c>0$).
+
+$d$  
+: Es kommt zur Verschiebung in y-Richtung nach oben ($d>1$), bzw. unten ($d<1$).
+
+## Zusammengesetzte Funktionen
+### Summen/Differenzen von Funktionen
+Unter einer Summe, bzw. einer Differenz von Funktionen versteht man eine Verkettung von einzelnen Funktionen durch Addition, bzw. Subtraktion. Also wie folgt: $$f(x) = g(x) \pm h(x) \pm ....$$. Es gilt des weiteren, dass $$g(x) + h(x) + ... = (g+h+...)(x)$$. Dies gilt ebenfalls bei der Subtraktion von Funktionen.  
+Kombination aus beidem sind auch möglich, mit den gleichen Regeln.  
+Bei dieser Art der Verkettung gelten die üblichen Regeln zur Addidtion und Subtraktion (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, ....).
+
+### Produkte/Quotienten von Funktionen
+Unter einem Produkt, bzw. einem Quotienten von Funktionen versteht man eine Verkettung durch Multiplikation, bzw. Division. Dies geschieht nach dem Schema: $$f(x) = g(x) * h(x) * ....$$, bzw. $$f(x) = \frac{g(x)}{h(x) * ...}$$. Dabei gilt, dass $$g(x) * h(x) * ... = (g * h *...)(x)$$, bzw. mit Division bei einem Quoatienten.  
+Es sind auch Kombinationen aus Produkt und Quotient möglich, dabei gelten die selben Regeln.  
+Bei dieser Art der Verkettung gelten die üblichen Regeln zur Multiplikation und Division (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, ....).
+
+### verkettete Funktionen
+Von einer Verkettung von Funktionen spricht man, wenn die Funktionswerte der einen Funktion die x-Werte der anderen bilden. Am Beispiel der Verkettung der Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ also wie folgt: $$f(x) = g(h(x))$$. Um den endgültigen Funktionsterm zu bilden, werden dabei alle $x$ durch $h(x)$ in diesem Beispiel ersetzt. Dies kann auch wie folgt aufgeschrieben werden: $$g(h(x)) = g \circ h$$.
+
+## Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
+### Bestimmung ganzrationaler Funktionen
+Um eine ganzrationale Funktion mit gewünschten Eigenschaften zu erhalten, muss zunächst eine Grundfunktion aufgestellt werden. Diese ist immer nach dem Muster aller ganzrationalen Funktionen (vgl. [Abschnitt ganzrationale Funktionen](#ganzrationale-funktionen)): $f(x) = a_n * x^n + .... + a_1 * x^1 + a_0; \hspace{40pt} n \in \mathbb{N}$.  
+Nun müssen die allgemeinen Eigenschaften verallgemeinert werden. Beispiele hierfür wären:
+
+- Hochpunkt bei $HP(2|3)$ wird zu $f'(2) = 0$, $f(2) = 3$ und $f''(2)<0$  
+- Funktion 3. Grades bedeutet, dass $n=3$ gilt  
+- Achsensymmetrie bedeutet, dass nur geradzahlige Exponenten vorkommen dürfen, Punktsymmetrie, dass nur ungeradzahlige Exponenten
+
+Alle somit erhaltenen Eigenschaften müssen nun verarbeitet werden. Dabei gilt als Faustformel, dass Eigenschaften des Funktionsterms (bsp.: "nur ungeradzahlige Exponenten") direkt auf diesen angewendet werden, Gleichungen die man erhält in ein lineares Gleichungssystem (LGS) übernommen werden und Ungleichungen zur Probe des finalen Terms genutzt werden. **Wenn eine Probe möglich ist, darf diese nicht vergessen werden.**
+
+## Funktionenscharen
+Eine Funktionenschar ist eine Menge an Funktionen, wobei diese Funktionen durch einen Paramter variiert werden. Eine Funktionenschar wird wie folgt dargestellt: $$f_t(x) = ...$$. Dabei ist $t$ der Parameter. Ein mögliches Beispiel wäre hier $f_t(x) = x^2 - tx$. Beim Rechnen mit einer solchen Schar von Funktionen wird $t$ als konstante Zahl betrachtet und entsprechend mit diesem vorgegangen. So lassen sich dann beispielsweise auch Integrale oder Extrempunkte bestimmen in Abhängigkeit von $t$, wobei das $t$ in das Ergebnis übernommen wird.
+
+### Bestimmung gemeinsamer Punkte
+Um herauszufinden, welche Punkte alle Funktionen der Schar gemein haben, wird die folgende Gleichung gelöst: $$f_a(x) = f_b(x); \hspace{40pt} a \neq b$$. Somit erhält man alle Stellen, an welchen die Funktionen den gleichen y-Wert unabhängig von ihrem Parameter besitzen und somit alle Funktionen einen gemeinsamen Punkt haben. Um diesen Punkt zu berechnen muss lediglich der x-Wert in $f_t(x)$ eingesetzt werden, wobei der Parameter vernachlässigt werden kann.
+
+[//]: # (Beispielrechnung wäre hier wahrscheinlich ganz hilfreich.....)
+
+### Bestimmung der Ortskurve besonderer Punkte
+Unter der Ortskurve versteht man die Funktion, auf welcher sich alle besonderen Punkte (Hoch-, Tief- und Wendepunkte) sich bei Variation des Parameters bewegen.  
+Um diese zu bestimmen muss zuerst der Punkt in Abhängigkeit von dem Parameter bestimmt werden. Dafür wird wie bei der sonstigen Bestimmung von Extrem-, bzw. Wendepunkten vorgegangen. Nun kann der x-Wert des Punktes in die Ursprungsfunktionenschar eingesetzt werden und man erhält eine Funktion, welche lediglich Parameter enthält und keine "$x$e". Dies ist die Ortskurve $f(k)$, diese kann nun zu beispielsweise $g(x)$ umbenannt werden.
+
+
+[//]: # (Auch hier eventuell eine Beispielrechnung)
+
+## Ableitung
+Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, bei kleiner werdendem Intervall.
+
+### Differenzenquotient
+Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante zwischen den beiden Grenzwerten des Intervalls an, oder in anderen Worten die mittlere Änderungsrate im Intervall. Er kann wie folgt im Intervall $I = [a; b]$ berechnet werden: $$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}; \hspace{40pt} a < b$$.
+
+### Berechnung des Grenzwertes
+Zur Berechnung der Ableitung, also des Grenzwertes des Differenzenquotienten wird die Größe des Intervalls mithilfe des Limes gegen 0 bewegt. Hierfür wird die mittlere Änderungsrate im Intervall $[a; a+h]$ bei kleiner werdendem $h$ betrachtet. Somit ergibt sich die Ableitung an der Stelle $a$ als folgender Zusammenhang: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} m([a; a+h]) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$. Dies entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle $a$, bzw. der momentanen Änderungsrate an der Stelle $a$.
+
+## Ableitungsfunktion
+...
+
+## Tangente, Sekante und Normale
+In der folgenden Abbildung (vgl. Abbildung Tangente, Sekante und Normale) ist die Sekante zwischen den Punkten $A(0|f(0))$ und $B(2,5|f(2,5))$, als auch die Tangente und Sekante durch den C(1|f(1)) eingezeichnet. Die Gleichung der Funktion $f$ lautet $f(x) = -x^3 + 3x^2$.  
+
+![Tangente, Sekante und Normale](assets/Tangente-Sekante-Normale.png)
+
+### Sekante
+Unter einer Sekante versteht man eine Gerade durch zwei Punkte auf einem Graphen. Die allgemeine Sekantengleichung durch die Punkte $A(a_1|a_2)$ und $B(b_1|b_2)$ lautet: $$y = \frac{b_2 - a_2}{b_1 - a_1} * (x - a_1) + a_2$$.
+
+### Tangente
+*Tangentenbeschreibung, Steigung, allg. Gleichung, Tangente von außen mit Berührpunkt*
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+### Normale
+*Beschreibung, Steigung, vgl. Tangente, allg. Gleichung, Normale mit Berührpunkt(Verweis zu #Tangente)*
+
+
 
 # Geometrie
 
@@ -64,7 +158,7 @@ Abbildung(vgl. Abbildung trigonometrische Funktionen) der trigonometrischen Funk
 
 # Anhang
 ## Grundwissen
-
++
 
 ## Abiturrichtlinien
 Für genaue Informationen siehe [Dokument](https://rp.baden-wuerttemberg.de/rps/Abt7/Ref75/Fachberater/Documents/Mathe/2021-LF-Konvolut.pdf)^[Regierungspräsidium Baden-Württemberg. Leistungsfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung  2021 Und 2022. Regierungspräsidium Baden-Württemberg, 2019, https://rp.baden-wuerttemberg.de/rps/Abt7/Ref75/Fachberater/Documents/Mathe/2021-LF-Konvolut.pdf.] des Regierungspräsidiums.