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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
Lösung der Radialgleichung für das Wasserstoffatom
Beim Lösen der Radialgleichung für das Wasserstoffatom mit dem Potential V(r) = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} führen wir die Substitution u(r) = r R(r) ein, was zu einer vereinfachten, dimensionslosen Differentialgleichung führt:
\frac{\partial^2 u(\rho)}{\partial \rho^2} - \left(1 - \frac{2 u(\rho)}{\rho} + \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right) u(\rho) = 0
Durch die Einführung der Energie des Bohrschen Atommodells Atommodelle E_n = - \frac{m e^4}{2 (4 \pi \epsilon_0)^2 \hbar^2} \frac{1}{n^2} und der Umwandlung von r zu \rho, erhalten wir eine Gleichung, die das Verhalten von u für kleine und große \rho berücksichtigt.
Ansatz zur Lösung
Der Lösungsansatz u_n(\rho) = \rho^{l+1} e^{-\rho} G_s^l(\rho) beinhaltet die Laguerre-Polynome G_s^l, welche für verschiedene Grade s+1 definiert sind. Diese Polynome erfüllen die Orthogonalitätsrelation, was zur Normalisierung der Wellenfunktion beiträgt:
R_{nl}(\rho) = \mathcal{N}_{nl} e^{-\frac{\rho}{2}} \rho^l L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)
Hierbei ist \mathcal{N}_{nl} der Normierungsfaktor und a_0 der Bohrsche Radius, der den Abstand beschreibt, bei dem die elektrostatische Anziehung und die Zentrifugalkraft im Gleichgewicht sind.
Quantenzahlen und Wahrscheinlichkeitsdichte
Das Wasserstoffatom wird durch Quantenzahlen n, l, und m charakterisiert, wobei die Gesamtwellenfunktion \psi_{nlm}(r, \theta, \varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \varphi) ist. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem bestimmten Volumenelement zu finden, wird durch P_{nl}(r) = r^2 \left\lvert R_{nl}(r) \right\rvert^2 angegeben.
Lösungen
$R_{nl}$
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P_{nl}
!
Energieeigenwerte und Ionisierungsenergie
Die Energieeigenwerte, gegeben durch E_n = - \frac{\pu{{13.6} {eV}}}{n^2}, zeigen die möglichen Energieniveaus des Elektrons im Wasserstoffatom. Diese Energieeigenwerte sind unabhängig von den Quantenzahlen l und m, was zu Entartung führt. Die Ionisierungsenergie, notwendig, um das Elektron vom Atom zu lösen, beträgt E_\text{ion} = \pu{{13.6} {eV}}.
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