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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
Spin-Bahn-Kopplung
In der klassischen Betrachtung, wenn man in das Bezugssystem eines rotierenden Elektron wechselt, entsteht ein Strom durch das rotierende Proton, was zu einem magnetischen Feld führt:
\vec{B}_e = \frac{e \mu_0}{4 \pi r^3 m_e} \vec{l}_e
Daraus resultiert ein Spin-Bahn-Kopplungspotential:
\hat{V}_{ls} = - \frac{e^2 \mu_0}{8 \pi m_e^2} \frac{1}{r^3} \hat{l}\hat{s}
Dieses Potential verknüpft den Bahndrehimpuls \hat{l} mit dem Spin des Elektrons \hat{s}, wodurch die Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms beeinflusst werden:
\hat{H}= \hat{H}_\text{klass} + \hat{V}_{ls}
Die Gesamtdrehimpulserhaltung ermöglicht die Betrachtung neuer Quantenzahlen, die mit dem Hamiltonoperator kommutieren, einschließlich des Gesamtdrehimpulses \hat{\jmath} = \hat{l} + \hat{s}.
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Störungstheorie
Die Störungstheorie hilft bei der Berechnung der Energiekorrekturen durch die Spin-Bahn-Kopplung, wobei der Störungsterm \hat{V}_{ls} betrachtet wird. Die erste Ordnung der Energiestörung ergibt sich zu:
\Delta E_{ls} = \langle \hat{l}\hat{s} \rangle_{ljm_j} \cdot \langle \xi(r) \rangle_{nl}
Die Analyse ergibt unterschiedliche Energiekorrekturen für j = l + \frac{1}{2} und j = l - \frac{1}{2}, was zur Aufspaltung der Energieniveaus führt.
Berechnung der Störung durch Spin-Bahn-Kopplung
Die Energieaufspaltung für die Zustände mit n=2 und l=1 wird exemplarisch untersucht, wobei die Aufspaltung symmetrisch um den Linienschwerpunkt der Energien liegt. Die Berechnung der Störung ergibt:
\Delta E_{ls} = \frac{\hbar^2}{2} \left(j (j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}\right) \langle \xi(r) \rangle_{nl}
Relativistische Korrekturen
Die relativistischen Korrekturen führen zu weiteren Anpassungen der Energieeigenwerte, einschließlich der Feinstrukturkorrektur:
\Delta E_{FS} = -\frac{mc^2}{2} \frac{\alpha^4}{n^3} \left(\frac{1}{j+\tfrac{1}{2}} - \frac{3}{4n}\right)
Dies führt zu einer korrigierten Energieformel, die die Feinstrukturkorrektur berücksichtigt:
E_{nj} = E_n \left(1 + \frac{\alpha^2}{n} \left(\frac{1}{j + \tfrac{1}{2}} - \frac{3}{4n}\right)\right)
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