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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
Wie helfen uns die Eigenschaften des Drehimpuls in der Quantenmechanik aber im Folgenden bei der Lösung der Schrödingergleichung? Dazu betrachten wir die Darstellung des Gesamtdrehimpulses \hat{l}^2 in Kugelkoordinaten. Es gilt \hat{l}^2 = - \hbar^2 \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}\right) Dieser Ausdruck ist bereits aus der Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms bekannt. Diese wird somit zu $$\begin{aligned}
\frac{1}{R(r)} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r} \right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2} \left(E - V(r) \right)\=\
\frac{1}{Y(\theta, \varphi)} \frac{1}{\hbar^2} \underbrace{\hat{l}^2}_{= \hbar^2 l (l+1)} Y(\theta, \varphi)
\end{aligned} Wir haben die Separationskonstante der Gleichung gefunden und die verbleibende Differentialgleichung ist gegeben durch die [[Radialgleichung]]
\frac{1}{R(r)} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r} \right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2} \left(E - V(r) \right) = l (l+1)$$
Zunächst betrachten wir jedoch die Differentialgleichung für die Winkelanteile. Wir haben gefunden, dass \frac{1}{\sin{\theta}} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin{\theta} \frac{\partial }{\partial \theta} Y(\theta, \varphi)\right) + \frac{1}{\sin^2{\theta}} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} Y(\theta, \varphi) = - l (l+1) Y(\theta, \varphi) Erneut separieren (siehe Separationsansatz) wir die Gleichung, da es zwei unabhängige Variablen gibt. Die Annahme, welche im folgenden gelte sei, dass Y dargestellt werden kann als Y(\theta, \varphi) = \Theta(\theta) \Phi(\varphi) Dann gilt \sin^2{\theta} \left(\frac{1}{\Theta(\theta) \sin{\theta}} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin{\theta} \frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial \theta}\right) + l(l+1)\right) = - \frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{\partial^2 \Phi(\varphi)}{\partial \varphi^2}
Azimutalgleichung
Als Separationskonstante fordern wir den verbleibenden Eigenwert, wodurch wir die Azimutalgleichung finden als - \frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{\partial^2 \Phi(\varphi)}{\partial \varphi^2} = m^2 Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch \Phi_m(\varphi) = A e^{i m \varphi} mit der weiteren Bedingung, dass \Phi_m(\varphi) = \Phi_m(\varphi + 2 \pi). Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, falls m ein ganzzahliger Wert ist. Außerdem finden wir somit, dass l ebenfalls ein ganzzahliger Wert sein muss. Es muss also für unsere Koeffizienten gelten \Rightarrow \left\lvert m \right\rvert \leq l: \quad m \in \mathbb{Z}, \quad l \in \mathbb{N}_0 m nennt man die magnetische Quantenzahl und ist Eigenwert von \hat{l}_z mit \hat{l}_z \left\lvert \psi_{lm} \right\rangle = \hbar m \left\lvert \psi_{lm} \right\rangle \qquad \Rightarrow \langle \hat{l}_z \rangle = \hbar m Zudem können wir die Normierungskonstante A bestimmen. Es muss gelten \int_0^{2 \pi} \left\lvert \Phi_m(\varphi) \right\rvert^2 \mathrm{d}{\varphi} = 2 \pi A^2 \overset{!}{=} 1 \quad \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} Die Lösung der Differentialgleichung für die Azimutalanteile ist somit gegeben durch \Phi_m(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} \quad \text{mit} \quad m \in \mathbb{Z}: \quad \left\lvert m \right\rvert \leq l
Polargleichung
Wir betrachten nun die Polargleichung. Diese ist gegeben durch \sin^2{\theta} \left(\frac{1}{\Theta(\theta) \sin{\theta}} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin{\theta} \frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial \theta}\right) + l(l+1)\right) = m^2 Für l = m = 0 ist die Differentialgleichung trivial und die Lösung ist gegeben durch \Theta(\theta) \equiv \text{const.} Für alle anderen Fälle sei ohne Beweis die Lösung gegeben durch \Theta(\theta) = \mathcal{N}_l^m P_l^m(\cos{\theta}) mit dem Normierungsfaktor \mathcal{N}_l^m welcher gegeben sei durch \mathcal{N}_l^m = \sqrt{\frac{2 l +1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m sind die zugeordneten Legendre-Polynome sind gegeben durch P_0^0(x)= 1, \quad P_1^0(x) = x, \quad P_2^0(x) = \frac{1}{2} \left(3x^2 - 1\right), \quad P_3^0(x) = \frac{1}{2} \left(5 x^3 - 3x\right), \dots Für m \neq 0 sind dann die zugeordneten Polynome definiert durch P_l^m(x) = \left(1 - x^2\right)^{\frac{m}{2}} \frac{\partial^m }{\partial x^m} P_l^0(x) Die gesamte Kugelflächenfunktion Y_{lm}(\theta, \varphi) ist somit gegeben durch Y_{lm}(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos{\theta}) e^{i m \varphi} Die Kugelflächenfunktionen bilden dabei eine vollständige Basis zur Entwicklung einer beliebigen Funktion auf der Sphäre. Sie sind normiert und orthogonal, also \left\langle Y_{l'm'}(\theta, \varphi) \middle\vert Y_{lm}(\theta, \varphi) \right\rangle = \delta_{l l'} \delta_{m m'} l und m hängen mit den Eigenwerten zu \hat{l}^2 und \hat{l}_z dabei direkt zusammen über \hat{l}^2: \hbar l (l+1) \qquad \hat{l}_z: \hbar m
Im folgenden definieren wir außerdem den Paritätsoperator \hat{P} als \hat{P}(\vec{r}) = - \vec{r} und es gilt für die Kugelflächenfunktion \hat{P}Y_{lm} = (-1)^l Y_{lm}
Wenn l gerade ist, so gibt es eine gerade, bzw positive Parität und im Fall, dass l ungerade, eine ungerade/negative Parität.
Die ersten Kugelflächenfunktionen sind in abgebildet, wobei jeweils nur der reelwertige Anteil dargestellt ist. Blaue Teile sind positive Werte, gelbe negative. Somit ist auch die Parität direkt ersichtlich.
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