Quartz sync: Mar 19, 2024, 12:24 PM
This commit is contained in:
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# Antwort
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![[Atommodelle#Potential eines Atoms und das Bohrsche Atommodell]]
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![[Atommodelle#Bohrsche Atommodell]]
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**Probleme**
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- Abstrahlung durch Beschleunigung der Ladung
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@@ -7,7 +7,7 @@ Das Deutsche [[Elektron]]en-[[Synchrotron]] (**DESY**) ist eine der weltweit fü
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**DESY** wurde 1959 gegründet und hat sich seitdem zu einem weltweit anerkannten Zentrum für Hochenergiephysik und verwandte Felder entwickelt. Zu den bemerkenswertesten Errungenschaften und Forschungsschwerpunkten gehören:
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- **Teilchenphysik**: DESY hat bedeutende Beiträge zum Verständnis der fundamentalen Bausteine der Materie und der Kräfte, die zwischen ihnen wirken, geleistet. Insbesondere hat die Forschung am Elektron-Positron-Collider [[HERA]] tiefgreifende Einblicke in die Struktur von Protonen und die Natur der schwachen Kernkraft ermöglicht.
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- **Entwicklung von Beschleunigertechnologien**: DESY ist führend in der Entwicklung und dem Betrieb von Teilchenbeschleunigern. Der Linearbeschleuniger [[PETRA]], der Synchrotronstrahlungsquelle DORIS und dem Freie-Elektronen-Laser FLASH wurden bahnbrechende technologische Fortschritte erzielt.
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- **Entwicklung von Beschleunigertechnologien**: DESY ist führend in der Entwicklung und dem Betrieb von Teilchenbeschleunigern. Der Linearbeschleuniger [[PETRA]], der Synchrotronstrahlungsquelle DORIS und dem Freie-Elektronen-[[Laser]] FLASH wurden bahnbrechende technologische Fortschritte erzielt.
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- **Photonwissenschaften**: Mit dem Röntgenlaser European XFEL, der in enger Partnerschaft mit internationalen Organisationen betrieben wird, bietet DESY einzigartige Forschungsmöglichkeiten. Der XFEL erzeugt ultrakurze und extrem helle Röntgenlaserpulse, die es ermöglichen, atomare Details in einer Vielzahl von Materialien zu untersuchen und chemische Reaktionen in Echtzeit zu beobachten.
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- **Astroteilchenphysik**: DESY beteiligt sich auch an Projekten zur Erforschung des Universums, wie dem High Energy Stereoscopic System (H.E.S.S.) und dem Cherenkov Telescope Array (CTA), um hochenergetische kosmische Strahlung und Phänomene wie Schwarze Löcher und Neutronensterne zu untersuchen.
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@@ -10,7 +10,7 @@ Einige der bemerkenswertesten Errungenschaften des SLAC umfassen:
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- **Entdeckung der Parton-Struktur in Protonen**: In den 1960er und 1970er Jahren führten Experimente am SLAC zur Entdeckung, dass Protonen aus kleineren Teilchen, den sogenannten Quarks, bestehen. Diese Entdeckungen trugen wesentlich zum [[Standard-Modell]] der Teilchenphysik bei.
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- **Nobelpreis für Physik**: Forschungen am SLAC wurden mehrfach mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet. Zum Beispiel erhielten *Richard Taylor, Jerome I. Friedman und Henry W. Kendall* den Preis im Jahr 1990 für ihre experimentellen Entdeckungen bezüglich der Quarkstruktur der Protonen und Neutronen.
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- **Entwicklung der Freie-Elektronen-Laser (FEL)**: SLAC ist auch bekannt für die Entwicklung und den Betrieb von leistungsstarken Freie-Elektronen-Lasern, die im X-ray-Bereich arbeiten. Der Linac Coherent Light Source (LCLS) ist ein solcher Laser, der extrem helle und kurze Röntgenpulse erzeugt, die für eine breite Palette von Forschungsbereichen, von der Materialwissenschaft bis zur Biologie, genutzt werden.
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- **Entwicklung der Freie-Elektronen-[[Laser]] (FEL)**: SLAC ist auch bekannt für die Entwicklung und den Betrieb von leistungsstarken Freie-Elektronen-Lasern, die im X-ray-Bereich arbeiten. Der Linac Coherent Light Source (LCLS) ist ein solcher Laser, der extrem helle und kurze Röntgenpulse erzeugt, die für eine breite Palette von Forschungsbereichen, von der Materialwissenschaft bis zur Biologie, genutzt werden.
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### Zielsetzung und Forschungsschwerpunkte
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#altprotokolle
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#altprotokoll
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- [ ] Altprotokoll vom 2023-12-21: [[Notizen_2023-12-21_Altprotokoll_Wolf|Link zum Protokoll]]
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- [ ] Altprotokoll vom 2023-12-18: [[Notizen_2023-12-18_Altprotokoll_Wolf|Link zum Protokoll]]
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- [ ] Altprotokoll vom 2023-11-10: [[Notizen_2023-11-10_Altprotokoll_Wolf|Link zum Protokoll]]
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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Bisher haben wir in unseren Berechnungen ein Atom betrachtet, welches sich im elektrischen Feld einer elektromagnetischen Welle, also einem Lichtfeld, befindet. Dabei haben wir zur Erklärung der auftretenden Phänomene bereits angenommen, dass sich Absorption und Emission identisch verhalten. Die verschiedenen Arten der Absorption und Emission betrachten wir nun jedoch genauer.
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![[Ex4_0723_Absorption_Emission.png]]
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Die Absorption und zwei Arten der Emission sind in obiger Abbildung dargestellt. Genauer ausgeführt gilt:
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Bei der **Absorption** wird ein [[Photon]] absorbiert und das Atom geht in einen angeregten Zustand über, also seine Eigenenergie erhöht sich genau um $\Delta E = \hbar \omega$.
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Bei der **stimulierten Emission** hingegen trifft das einkommende [[Photon]] auf ein Atom im angeregten Zustand. Im Rahmen dessen wird das Atom abgeregt und ein weiteres [[Photon]] mit $E = \hbar \omega$ emittiert.
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Bei der **spontanen Emission** wird das Atom ebenfalls abgeregt, jedoch wird das [[Photon]] spontan emittiert.
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Die Rate für die Absorption und die stimulierte Emission ist gegeben durch [[Fermis Goldene Regel]], als $$
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R = \frac{\pi}{6 \hbar^2} \rho(\omega) E_0^2 \left\lvert \langle x \rangle_{fi} \right\rvert^2$$
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Diese Regel folgt direkt aus der [[Störungstheorie]]. Die Funktion $\rho(\omega)$ beschreibt dabei die Zustandsdichte der einfallenden [[Photon]]en. Um diese Dichte zu bestimmen betrachten wir die theoretische Anzahl an Photonen in Abhängigkeit der Kreisfrequenz $$N(\omega) = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{8 \pi L^3 \omega^3}{3 (2\pi)^3 c^3} = \frac{V}{2 \pi^2 c^3} \omega^3$$ Zur Herleitung dieser wurde mehrfach die Näherung des [[Atommodelle#Bohrsche Atommodell]] genutzt. Somit folgt die Photonendichtefunktion als $$\Rightarrow \rho(\omega) = \frac{\partial N}{\partial \omega} = \frac{3}{2} \frac{V}{\pi^2 c^3} \omega^2$$
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Nun verbleibt es die Rate der spontanen Emission $S$ zu berechnen. *Einstein* postulierte hierfür, dass man die spontane Emission als stimulierte Emission durch [[Wärmestrahlung|Schwarzkörperstrahlung]] verstehen könne. Für die **Hohlraumstrahlung** gilt im thermischen Gleichgewicht $$N = N_0 e^{- \frac{\hbar \omega}{k_B T}}$$ und die Energiedichte dieser ist gegeben durch die *Lorentzkurve* $$I(\omega) = \frac{\hbar \omega^2}{\pi^2 c^3} \frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$$
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![[Ex4_0723_Lorentzkurve.png]]
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Ohne Beweis werde an dieser Stelle angegeben, dass somit die Rate der spontanen Emission folgt als $$
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S = \frac{4}{3} \frac{\omega^3}{\hbar c^3} \left\lvert \langle x \rangle_{fi} \right\rvert^2$$ Mit diesen Raten stellt die Wellenfunktion eines 2-Niveau-Systems einen [[Harmonischer Oszillator]] dar, dessen Wellenfunktion sei gegeben durch $$
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\psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r}) e^{- \frac{i}{\hbar}(E + \frac{i}{2} \Gamma)t}$$ sofern sich das System initial im angeregten Zustand befindet. $\Gamma$ beschreibt die sogenannte Halbwertsbreite des Oszillators. Somit beschreibt die Intensität in Abhängigkeit der Kreisfrequenz eine *lorentzverteilte* Kurve mit der eben genannten Halbwertsbreite und dem Maximum bei $E = \hbar \omega_0$, also der zum System passenden Photonenenergie wie in dargestellt.
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Die Anzahl der Teilchen im initialen Zustand beschreiben wir im Folgenden mit dem Ansatz eines natürlichen Zerfalls, also mit $$\begin{aligned}
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} N_i &= - \lambda N_i\\
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\Rightarrow N_i &= N_0 e^{- \lambda t}
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\end{aligned}$$ Die natürliche Lebensdauer $\tau$ ist in solchen Fällen allgemein definiert als der Kehrwert der Zerfallskonstanten $\tau = \frac{1}{\lambda}$. Mit der obigen Wellenfunktion fällt das Betragsquadrat der Wellenfunktion mit $\left\lvert \psi(\vec{r}, t) \right\rvert^2 \propto e^{- \frac{\Gamma}{\hbar} t}$. Die natürliche Lebensdauer eines solchen angeregten Zustands ist also gegeben durch $$\tau = \frac{\hbar}{\Gamma}$$ Als Beispiel gilt für den Abfall aus einem $2p$ in einen $2s$ Zustand, dass $\Gamma \approx \pu{{4e-7} {eV}}$ und somit besitzt dieser Zustand eine Lebensdauer von $\tau \approx \pu{{1.6e-9} {s}}$.
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# Linienverbeiterung
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Im letzten Absatz haben wir die Lebensdauer der angeregten Zustände diskutiert. Aufgrund der [[Heisenbergsche Unschärferelation]] $\Delta E \Delta t \leq \frac{\hbar}{2}$ kommt es automatisch zu einer natürlichen **Linienverbeiterung**. Des Weiteren müssen wir beachten, dass die Atome in einem Gas sich nicht in kinetischer Ruhe befinden. Durch den Effekt des bewegten Senders muss es auch hierdurch zu einer Dopplerverbreiterung in Bewegungsrichtung kommen mit der Frequenzänderung $$\nu = \nu_0 \left( 1 - \frac{v_x}{c}\right)^{-1}$$
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Es kommt zu einer inhomogenen **Linienverbeiterung** durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der einzelenen Atome. Wir nehmen eine [[Stochastische Verteilungen#*Boltzmann*-Verteilung]] an mit $$\frac{\mathrm{d}N(v_x)}{\mathrm{d}v_x} \propto e^{- \frac{m v_x^2}{2 k_B T}}$$
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In erster Näherung folgt hiermit eine **Linienverbeiterung** von $$\frac{\Delta \nu_\text{Doppler}}{\nu_0} \approx \sqrt{\pu{{5.12e-13} {u/K}} \frac{T}{m}}$$
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## Druckverbreiterung
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![[Ex4_0723_Druckverbreiterung.png]]
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Durch Stöße zwischen Atomen kann es zur Emission von Photonen kommen. Im thermischen Gleichgewicht gilt $$
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N_\beta = N_\alpha e^{- \frac{\hbar \omega}{k_B T}}$$
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Des Weiteren gelten die Übergangsraten wie oben. Somit ergeben sich die Zahl an Teilchen die zwischen den Zuständen $\alpha$ und $\beta$ wechseln durch
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Stimulierte Emission
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: $N_\beta R_{\beta \alpha}$
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Stimulierte Absorption
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: $N_\alpha R_{\alpha \beta}$
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Spontane Emission
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: $N_\beta S_{\beta \alpha}$
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*Folder tags:*
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#folder-Physikalische-Grundlagen #folder-Atomphysik
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom #todo/rewrite
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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# Elektrische Dipolübergänge
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Experimente in den [[Atomspektren]] des $\ce{H2}$ zeigen Übergänge zwischen Energieniveaus der [[Radialgleichung]] mit beliebigem $\Delta n$, die Basis der Lyman- oder Balmer-Serie sind. Bei der Betrachtung der [[Zeeman-Effekt]] zeigt sich, dass nicht alle theoretisch möglichen Energieübergänge experimentell beobachtet werden.
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Zunächst kann festgehalten werden, dass experimentell beispielsweise im [[Wasserstoffatom]]spektrum es möglich ist Übergange zwischen Energieniveaus mit beliebigem $\Delta n$ zu beobachten. Solche Übergänge sind schließlich die Grundlage für die Lyman- oder Balmer-Serie, etc. Des Weiteren betrachten wir im Folgenden die Übergänge zwischen den Energieniveaus, welche wir aufgrund des [[Zeeman-Effekt]] erhalten. Theoretisch scheint es möglich, dass Übergänge zwischen allen Energieniveaus möglich sind. Experimentell beobachtet man dies jedoch nicht.
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Es gelten bestimmte **Auswahlregeln** für die Übergänge, insbesondere für die zirkulare Polarisation bei $\Delta m_j = \pm 1$ und lineare Polarisation bei $\Delta m_j = 0$. Diese Phänomene werden durch die Erhaltung des [[Drehimpuls in der Quantenmechanik]] und den Spin des Photons erklärt.
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Stattdessen beobachtet man die Übergänge wie in dargestellt. Einige Übergänge finden gar nicht statt und bei den anderen Üübergängen beobachtet man unterschiedliche **Polarisationen**. Diese Regeln werden als sogenannte **Auswahlregeln** zusammengefasst. Alle Übergänge sind möglich, für die gilt $$\begin{aligned}
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\Delta n &= 0, 1, 2, \dots\\
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\Delta l &= \pm 1\\
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\Delta j &= 0, \pm 1\\
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\Delta m_j &= 0, \pm 1
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\end{aligned}$$
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Insbesondere beobachtet man zirkulare **Polarisation** für Übergänge mit $\Delta m_j = \pm 1$. Dieses Licht beobachtet man in $z$-Richtung, also in Richtung der Magnetfeldlinien. Verkippt zur $z$-Achse beobachtet man hingegen lineare Polarisation für alle Übergänge mit $\Delta m_j = 0$. In der Bezeichnung der Polarisationen aus der Optik gilt $$\begin{aligned}
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\Delta m_j &= 0 &&\rightarrow \pi\text{-Polarisation}\\
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\Delta m_j &= \pm 1 &&\rightarrow \sigma^{\pm}\text{-Polarisation}
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\end{aligned}$$
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Eine naheliegende interpretation für dieses Verhalten ist, dass dieses Verhalten aufgrund der Erhaltung des [[Drehimpuls in der Quantenmechanik]] auftritt und das [[Photon]] einen Drehimpuls von $1 \hbar$ besitzt.
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## Messung des Drehimpulses von Licht
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1936 untersuchte *Beth* den Drehimpuls von [[Photon]]en und bestätigte, dass der Spin des Photons $\pm \hbar$ in Ausbreitungsrichtung beträgt. Die Messung basiert auf der Polarisationsänderung des Lichts.
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1936 untersuchte *Beth* den [[Drehimpuls in der Quantenmechanik|Drehimpuls]] von [[Photon]]en und bestätigte, dass der Spin des Photons $\pm \hbar$ in Ausbreitungsrichtung beträgt. Die Messung basiert auf der **Polarisationsänderung** des Lichts aufgrund eines Durchlaufs durch ein $\frac{\lambda}{2}$-Plättchens.
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Die Polarisation des Lichts und die damit verbundenen Auswahlregeln werden mathematisch durch die Wechselwirkung mit einem alternierenden elektrischen Feld beschrieben.
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Des Weiteren versuchen wir im Folgenden die **Polarisation** des Lichts mathematisch zu begründen. Hierfür gebe es ein alternierendes elektrisches Feld in $\vec{r}$-Richtung, also ist das Potential gegeben durch $$\hat{V}(\vec{r}, t) = - q \vec{E}_0 \cdot \vec{r} \cos(\omega t)$$ Wir suchen im Folgenden die Lösung der zeitabhängigen [[Schrödingergleichung]] mit $$\hat{H}= \hat{H}_0 + \hat{V}(\vec{r}, t)$$ Wir nutzen das Wechselwirkungsbild der zeitabhängigen [[Störungstheorie]]. Es ist bekannt, dass die Lösung der ungestörten Schrödingergleichung gegeben ist durch $\psi(\vec{r}, t, s) = \psi(\vec{r}) \chi(s) e^{-\frac{i}{\hbar} E_0 t}$. Des Weiteren werden wir im Weiteren die relativistische Betrachtung ignorieren, wodurch der Faktor $\chi(s)$ keine weitere Rolle spielt.
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# Absorption und Emission
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Wir möchten nun die notwendige Korrektur der Wellenfunktion bestimmen. In diesem Kontekt weißt der Index $f$ im folgenden auf die finale Wellenfunktion und $i$ auf die initale Wellenfunktion hin. Es gilt $$\begin{aligned}
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\left\langle \psi_f \middle\lvert \hat{V} \middle\rvert \psi_i \right\rangle = &\left\langle \psi_f(\vec{r}) \middle\lvert \hat{V}(\vec{r}) \middle\rvert \psi_i{\vec{r}} \right\rangle \\
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&\cdot \underbrace{\left\langle \chi_f(s) \middle\lvert 1 \middle\rvert \chi_i(s) \right\rangle}_{\rightarrow \chi_i = \chi_f}\\
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&\cdot \underbrace{\left\langle e^{\frac{i}{\hbar} E_f t} \middle\lvert \cos(\omega t) \middle\rvert e^{-\frac{i}{\hbar} E_i t} \right\rangle}_{= \delta(E_i - E_f + \hbar \omega)}
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\end{aligned}$$
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Die Untersuchung der Absorption und Emission zeigt, dass die stimulierte Emission und die spontane Emission grundlegende Prozesse sind, die durch die [[Störungstheorie]] erklärt werden.
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Im folgenden führen wir die Berechnungen in Kugelkoordinaten der Ortsdarstellung durch. Um die Erwartungswerte $\langle x \rangle_{fi}, \langle y \rangle_{fi}$ und $\langle z \rangle_{fi}$ zu berechnen, müssen wir das folgende Integral lösen $$\begin{aligned}
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\left\langle \psi_f \middle\lvert V(\vec{r}) \middle\rvert \psi_i \right\rangle &= \iiint r^2 \mathrm{d}r \sin{\theta} \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi \, R_{n'l'}^\ast(r) R_{nl} (r)\\ &\cdot r
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\begin{pmatrix}
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\sin \theta \cos \varphi\\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta
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\end{pmatrix}
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\cdot \vec{E}_0 \, \Phi_{m'}^\ast(\varphi) \Phi_m(\varphi)\\ &\cdot \Theta_{l'm'}^\ast(\theta) \Theta_{lm}(\theta)
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\end{aligned}$$
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### Linear polarisiertes Licht
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Die Rate für Absorption und stimulierte Emission folgt aus der von Fermi formulierten Goldenen Regel [[Fermis Goldene Regel]].
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Damit wir linear polarisiertes Licht beobachten können muss gelten, dass $\vec{E} \parallel \vec{z}$. Folgende Beobachtungen können dabei gemacht werden.
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## Laserkühlung und magnetooptische Falle
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1. Radialanteil
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Dieser Anteil besitzt keine Auswahlregel. Es gilt, dass $\Delta n \in \mathbb{Z}$ beliebig ist.
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Die Laserkühlung nutzt die Dopplerverschiebung zur Reduktion der Atombewegung. Die magnetooptische Falle fängt die Atome durch ein inhomogenes Magnetfeld und die [[Zeeman-Effekt]].
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2. $\varphi$-Anteil
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Wir finden das Integral $$\int_0^{2 \pi} e^{i(-m' + m) \varphi} \mathrm{d}\varphi = 2 \pi \delta_{m m'}$$ Somit muss gelten, dass $\Delta m = 0$.
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3. $\theta$-Anteil
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Es gilt für die zugeordneten Legendre-Polynome, dass $$x P_l^m(x) = \frac{l + m}{2l +1} P_{l-1}^m(x) - \frac{l+1}{2l+1} P_{l+1}^m(x)$$ Somit muss die Auswahlregel gelten, dass $\Delta l = \pm 1$.
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Da wir zum Erhalt der linearen **Polarisation** angenommen haben, dass $\vec{E} \parallel \vec{z}$ und allgemein $\vec{B} \parallel \vec{z}$ folgt sofort, dass wir in Magnetfeldrichtung kein linear polarisiertes Licht erhalten können. Dies ist auch experimentell zu beobachten.
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### Zirkular polarisiertes Licht
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Aus dem Experiment ist bereits das Auftreten von linear polarisiertem Licht, welches wir in $z$-Richtung beobachten können, bekannt. Aufgrund dessen definieren wir im folgenden die beiden elektrischen Felder $$\begin{aligned}
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\sigma^+: \quad \vec{E}^+ &= E_0 \begin{pmatrix}
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\cos(\omega t)\\ \sin(\omega t) \\ 0
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\end{pmatrix}\\
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\sigma^-: \quad \vec{E}^- &= E_0 \begin{pmatrix}
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\cos(\omega t)\\ -\sin(\omega t) \\ 0
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\end{pmatrix}\end{aligned}$$ Wenn wir diese elektrischen Felder einsetzen, so erhalten wir $$\begin{aligned}
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\langle x \rangle_{fi} &= c \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\varphi \Phi_{m'}^\ast \Phi_{m}\, \cos{\varphi}\\
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\langle y \rangle_{fi} &= \pm c \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\varphi \Phi_{m'}^\ast \Phi_{m}\, \sin{\varphi}
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\end{aligned}$$ mit der Konstanten $c$, welche folglicherweise gegeben ist durch $$c = \int_0^\infty \mathrm{d}r \, R_{n'l'}^\ast R_{nl} r^3 \int_0^\pi \mathrm{d}\theta \, \Theta_{l'm'}^\ast \Theta_{lm} \sin^2{\theta}$$ Mit den komplexen Darstellungen von $\cos{\varphi}$ und $\sin{\varphi}$ und der Definition von $\Phi_m$ erhalten wir $$\begin{aligned}
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\langle x \rangle_{fi} &= \frac{c}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\varphi\, e^{i(m - m') \varphi} \frac{e^{i \varphi} + e^{-i \varphi}}{2}\\
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\langle y \rangle_{fi} &= \pm \frac{c}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\varphi\, e^{i(m - m') \varphi} \frac{e^{i \varphi} - e^{-i \varphi}}{2i}
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\end{aligned}$$ Wir finden somit die Auswahlregel für zirkulare Polarisation und die magnetische Quantenzahl $m$ mit $$\Delta m = \pm 1 \quad \Rightarrow \sigma^\pm\text{-Polarisation}$$ Erneut deckt sich die Berechnung mit der experimentellen Beobachtung, dass in Magnetfeldrichtung zirkular polarisiertes Licht auftritt und es zwei Linien gibt, welche sich in der Polarisation unterscheiden.
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![[Absorption und Emission]]
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# Magnetische Dipolübergänge
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#class/Ex-IV #experiment
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# 3-Niveau-System
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In der Technik wäre es zur Erzeugung von Lasern wünschenswert, dass sich alle Atome im angeregten Zustand $\beta$ der [[Absorption und Emission]] befinden. Dies ist jedoch nicht möglich, da mit den Bedingungen der [[Absorption und Emission#Druckverbreiterung]] das System hierfür eine Temperatur von $T \to -\infty$. Ein praktischer Ausweg ergibt sich mit einem **3-Niveau-System**
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![[Ex4_0723_3Niveau.png]]
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Unser gewünschtes Dreiniveausystem ist in dargestellt. Dabei fordern wir des Weiteren, dass im Verhältnis $U_{\left\lvert 1 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle}$ deutlich langsamer ist als $U_{\left\lvert 2 \right\rangle\left\lvert 1 \right\rangle}$, also die Lebensdauer deutlich größer ist. Unter diesen Bedingungen kann eine Inversion der Zustände $\left\lvert 0 \right\rangle$ und $\left\lvert 1 \right\rangle$ erzeugt werden. Es kann also kurzzeitig die klassische Thermodynamik außer Kraft gesetzt werden.
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# Laseraufbau
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![[Ex4_0723_Laser_principle.png]]
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![[Ex4_0723_Laser.png]]
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Durch den Aufbau nach obiger Abbildung ist es möglich eine Resonanz an **stimulierten Emissionen** zu Erzeugen. Die [[Absorption und Emission#Linienverbeiterung]] liegt in der Größenordnung von $\frac{\Gamma}{\hbar \omega} \approx \pu{e-5}$.
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Durch die Bedingung der stehenden Welle zwischen den Spiegeln des Lasers muss jedoch auch gelten, dass $$n \lambda = 2 L$$ An einem besipielhaften Laser mit $L = \pu{{20} {cm}}$ und $\lambda = \pu{{500} {nm}}$ ergibt sich somit hingegene eine maximale [[Absorption und Emission#Linienverbeiterung]] von $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \pu{2e-6}$. Dies wirkt zunächst widersprüchlich, wie aber eine solch geringe Linienverbreiterung erreicht werden kann, wird im Folgenden durch die **Eigenmoden** des Lasers erläutert.
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![[Ex4_0723_Laser_Verstärkung.png]]
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In obiger Abbildung ist dargestellt wie zunächst die allgemeine Verstärkungsfunktion eines atomaren Übergangs eine große [[Absorption und Emission#Linienverbeiterung]] aufweißt, welche jedoch durch die Resonatorbedingung auf einige Eigenmoden reduziert wird mit der jeweilg entsprechenden Intensität. Durch die Brenzung auf Eigenmoden mit einer Intensität, welche über der Lasergrenze liegt wird die ursprünglich Linienbreite eliminiert und man erhält die gewünschte hoch genaue Frequenzauflösung eines Lasers.
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Des Weiteren wird der Effekt der stimulierten Emission zur Verstärkung von Licht auch in mit oder dotierten Glasfasern zur Signalverstärkung bei Durchlauf genutzt, da durch die stimulierte Emission weiterhin kohärentes Licht entsteht und zur weiteren Signalübertragung genutzt werden kann ohne auf elektrooptische Umwandlung zurückgreifen zu müssen.
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*Folder tags:*
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#folder-Physikalische-Grundlagen #folder-Atomphysik
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@@ -0,0 +1,14 @@
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#class/Ex-IV #wasserstoffatom
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![[Ex4_0723_Laserkühlung.png]]
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Die [[Laser]]kühlung mithilfe des **Dopplerverfahrens** nutzt aus, dass genau wie die Emission auch die Absorption von Licht durch ein Atom in sehr kleinem Bereich aufgeweitet ist [[Absorption und Emission]]). Es wird ein zum optimalen **Absorptionskoeffizenten** $\alpha$ des zu kühlenden Atoms, rotverschobener Laser genutzt und aus 6 Raumrichtungen das Atom beleuchtet. Wenn für dieses in Laserrichtung gilt, dass $v \neq 0$ kommt es aus der Sicht des Atoms zu einer Blauverschiebung des Lichts, wodurch der Absorptionskoeffizent zunimmt und die Absorption und der daraus resultierende Impulsaustausch mit dem Photon wahrscheinlicher wird. Die Geschwindigkeit in Laserrichtung wird effektiv verringert. Im folgenden wird es des Weiteren zur spontanen Emission des Atoms kommen, da diese jedoch in alle Raumrichtungen gleichverteilt ist, kommt es hierdurch zu keinem weiteren Nettobeitrag. Die Grenze dieser Kühlmethode liegt im Bereich von ca. $\pu{100 \mu K}$.
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# Magnetooptische Falle
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Das Prinzip der Laserkühlung schafft es die Geschwindigkeit der Gasatome auf ein Minimum zu reduzieren. Trotz dessen besitzen diese eine geringe **Restgeschwindigkeit**, wodurch diese langsam aus einem Bereich hinausdriften können. Um diese Atome des Weiteren zu fangen wird die **magnetooptische Falle** genutzt. Um das Atom herum wird durch ein Anti-Helmholtz-Spulenpaar ein stark inhomogenes Magnetfeld erzeugt, wobei nur im absoluten Zentrum das Magnetfeld verschwindet. Durch den [[Zeeman-Effekt]] und die [[Aufspaltung]] der Energieniveaus des Atoms wird auch der **Absorptionskoeffizent** aufgespalten. In Kombination mit zirkular polarisiertem Licht kann somit eine ortsabhängige Kraft auf das Atom erzeugt werden. Der Aufbau einer allgemeinen Falle ist dargestellt. Durch die Kombination von drei Paaren dieser Fallen in orthogonalen Raumrichtungen kann ein Atom in alle Raumrichtungen gefangen werden.
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![[Ex4_0723_MOT.png]]
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*Folder tags:*
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#folder-Physikalische-Grundlagen #folder-Atomphysik
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@@ -1,5 +1,28 @@
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#class/Ex-IV #todo
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aliases:
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- Schwarzkörperstrahlung
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#class/Ex-IV #QM
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# Schwarzer Körper
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Ein **Schwarzer Körper** ist eine idealisierte thermische Strahlungsquelle. Die Idealisierung besteht darin, dass solch ein Körper alle auftreffende elektromagnetische Strahlung jeglicher Wellenlänge vollständig absorbiert, während reale Körper immer einen Teil davon zurückwerfen. Gleichzeitig sendet er als Wärmestrahlung eine elektromagnetische Strahlung aus, deren Intensität und spektrale Verteilung von der weiteren Beschaffenheit des Körpers und seiner Oberfläche unabhängig sind und nur von seiner Temperatur abhängen.
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# UV-Katastrophe
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Das **Rayleigh-Jeans Gesetz** beschreibt die Strahlung eines [[#Schwarzer Körper]] in Abhängigkeit der Temperatur über die **spezifische Ausstrahlung** $M$
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$$
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M(\lambda) d \lambda = \frac{2 c \pi}{\lambda^{4}}k T d \lambda
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$$
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Das von *John Rayleigh* und *James Jeans* veröffentlichte Gesetz stimmte mit den Messungen nur bei großen Wellenlängen ein. Bei kleinen Wellenlängen (**UV**) kommt es jedoch bei jeder Temperatur $T > 0$ zur Divergenz und einer unphysikalischen Lösung.
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Bei kleinen Wellenlängen beschreibt das **Wiensche Strahlungsgesetz** das Spektrum, konnte jedoch physikalisch nicht erklärt werden. Bei großen Wellenlängen, weißt jedoch auch dieses Gesetz Diskrepanzen auf.
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![[UV-Katastrophe.png]]
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# Plancksches Strahlungsgesetz
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Durch die Einführung der sogenannten Quanten gelang es *Max Planck* eine Theorie aufzustellen, welche eine korrekte Beschreibung des Spektrums über alle Wellenlängen ermöglicht und beide Verteilungen vereint.
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$$
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M(\lambda) d \lambda = \frac{2 \pi h c^{2}}{\lambda^{5}} \frac{d \lambda}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}
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$$
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Das System konnte Energie nur in kleinsten Portionen von $h \nu$ aufnehmen und abgeben.
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*Folder tags:*
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@@ -1,4 +1,8 @@
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#class/Ex-V-I #todo
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#class/Ex-V-I #kristall
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Die *Wigner-Seitz-Zelle* ist eine primitive Zelle des Kristallgitters, welche über eine spezifische Konstruktionsvorschrift erstellt wird.
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Man wähle einen Punkt in der [[Gittergeometrie]] und halbiert die Verbindungsstrecken zu allen anderen Punkten durch Ebenen. Die umschlossene Zelle ist die *Wigner-Seitz-Zelle*.
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+11
-55
@@ -1,67 +1,23 @@
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#class/Ex-IV #QM #todo/rewrite
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# Schrödingergleichung und Wellenfunktionen
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Bei einem Potential, das gleich Null gesetzt wird, $V(x) \equiv 0$, ist die Lösung der [[Schrödingergleichung]] bekannt als:
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$$
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\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}
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$$
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mit der Energie:
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$$
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E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega
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$$
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Die Wellenzahl $k$ ist definiert durch:
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$$
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\left\lvert k \right\rvert = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
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$$
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# Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
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Die Phasengeschwindigkeit $v_\text{ph}$ und die Gruppengeschwindigkeit $v_\text{gr}$ sind kritisch für die Beschreibung der Wellenbewegung:
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- Phasengeschwindigkeit: $$v_\text{ph} = \frac{p}{2m} \neq v$$
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- Gruppengeschwindigkeit: $$v_\text{gr} = \frac{p}{m} = v$$
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# Gaußsches Wellenpaket
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Ein Gaußsches Wellenpaket, charakterisiert durch:
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$$
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\psi(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(k) e^{i(kx - \omega(k) t)} \mathrm{d}k
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läuft im Laufe der Zeit auseinander, was der anormalen Dispersion in der Optik entspricht.
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#class/Ex-IV #QM
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# Unschärferelation
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Die Heisenbergsche Unschärferelation zeigt, dass die Unbestimmtheiten in Position und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können:
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Die Heisenbergsche Unschärferelation ist ein fundamentales Prinzip der Quantenmechanik, das die Grenzen der Genauigkeit beschreibt, mit der bestimmte Paare physikalischer Eigenschaften eines Teilchens, wie zum Beispiel Ort und Impuls, gleichzeitig gemessen werden können.
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$$
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\delta_x \delta_p \geq \frac{\hbar}{2}
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$$
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Sie kann bereits aus dem [[Schrödingergleichung#Erster Lösungsansatz der Schrödingergleichung]] abgeleitet werden.
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# Dirac-Notation und der Hilbertraum
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Die Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken:
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Die Quantenmechanik nutzt die Dirac-Notation, um Zustände und Operatoren in einem Hilbertraum, einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt, auszudrücken. Die Basis des Hilbertraums bilden die Lösungen der Schrödingergleichung, die orthogonal zueinander sind.
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$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$
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# Wasserstoffatom
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Für das Wasserstoffatom ergibt sich der Hamiltonoperator in Kugelkoordinaten als:
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$$
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\hat{H}= - \frac{\hbar^2}{2m} \vec{\nabla}^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}
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$$
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Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist ein Beispiel für ein Zentralkörperproblem, das in Kugelkoordinaten separiert werden kann.
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Die Lösungen des Wasserstoffatoms, die Energieniveaus und die Form der Wellenfunktion, zeigen die Quantisierung der Energie und die Struktur des Atoms.
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Hierbei ist:
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- $\Delta x$ die Unschärfe (oder Standardabweichung) der Position,
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- $\Delta p$ die Unschärfe des Impulses und
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- $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ($\hbar = \frac{h}{2\pi}$, wobei $h$ das Plancksche Wirkungsquantum ist).
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Die Unschärferelation kann auch für andere Paare von konjugierten Variablen hergeleitet werden, wie zum Beispiel für Energie und Zeit:
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$$ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $$
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@@ -13,10 +13,8 @@ Beim Eisenatom füllen 18 Elektronen die unteren Schalen vollständig auf, was d
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Zur leichteren Erinnerung kann hierfür auch das *Madelung*-Schema verwendet werden
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![[Ex4_0723_Madelung-rule-and-filling-of-orbitals.png]]
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## Röntgenspektren und Atomstruktur
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Die Emission von [[Röntgenstrahlung]] durch Atome, nach Wilhelm Röntgen benannt, gibt Aufschluss über die innere Struktur der Atome. Wenn ein Elektron aus einem tiefer liegenden Orbital entfernt wird, entsteht ein Loch, das durch den Übergang eines Elektrons aus einer höheren Schale gefüllt wird, wobei ein Photon emittiert wird. Dieser Prozess erzeugt ein Spektrum, das charakteristisch für jedes Element ist.
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#todo/rewrite
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Die Hundschen Regeln spielen weiterhin eine wichtige Rolle in der **charakteristischen Strahlung** der [[Röntgenstrahlung]].
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## Molekülphysik: Der Fall von molekularem Wasserstoff
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@@ -2,7 +2,7 @@
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In moderner Formulierung sagt das von *Wolfgang Pauli* postulierte Prinzip aus, dass die Wellenfunktionen von [[Fermionen]] in einem System *antisymmetrisch* unter Vertauschung sein müssen ([[Mathematik der Bosonen und Fermionen]]).
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Im Kontext des [[Wasserstoffatom]]s und anderer gebundenen Zustände sagt es jedoch zumeist aus, dass sich alle gebundenen Teilchen in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden müssen, und somit in jeder Bahn des [[Atommodelle#Potential eines Atoms und das Bohrsche Atommodell|Bohrschen Atommodells]] maximal zwei Elektronen mit entgegengesetztem [[Spin des Elektrons]] existieren können.
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Im Kontext des [[Wasserstoffatom]]s und anderer gebundenen Zustände sagt es jedoch zumeist aus, dass sich alle gebundenen Teilchen in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden müssen, und somit in jeder Bahn des [[Atommodelle#Bohrsche Atommodell|Bohrschen Atommodells]] maximal zwei Elektronen mit entgegengesetztem [[Spin des Elektrons]] existieren können.
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*Folder tags:*
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@@ -21,7 +21,24 @@ Die Wellenfunktion $\psi(x,t)$, eine komplexe Funktion, wird durch das Betragsqu
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# Erster Lösungsansatz der Schrödingergleichung
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Für zeitunabhängige Hamiltonfunktionen wird der [[Separationsansatz]] $\Psi(x,t) = f(t) \psi(x)$ verwendet, der zur Beziehung $$\hat{H}\psi(x) = E \psi(x) \quad \text{und} \quad f(t) = e^{-i \frac{E}{\hbar} t}$$ führt. Daraus resultiert die Wellenfunktion $$\Psi(x,t) = e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \psi(x)$$ mit der Normierung $$|\Psi(x,t)|^2 = |\psi(x)|^2.$$
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Bei einem Potential, das gleich Null gesetzt wird, $V(x) \equiv 0$, ist die Lösung der [[Schrödingergleichung]] bekannt als:
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$$
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\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}
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$$
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mit der Energie:
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$$
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E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega
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$$
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Die Wellenzahl $k$ ist definiert durch:
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\left\lvert k \right\rvert = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
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Für die Ausbreitung dieser Welle siehe auch [[Wellendynamik]].
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*Folder tags:*
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@@ -0,0 +1,23 @@
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#class/Ex-IV #QM
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# Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
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Die Phasengeschwindigkeit $v_\text{ph}$ und die Gruppengeschwindigkeit $v_\text{gr}$ sind kritisch für die Beschreibung der Wellenbewegung:
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- Phasengeschwindigkeit: $$v_\text{ph} = \frac{p}{2m} \neq v$$
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- Gruppengeschwindigkeit: $$v_\text{gr} = \frac{p}{m} = v$$
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![[Wellengeschwindigkeiten.gif]]
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*rote Quadrate: Phasengeschwindigkeit, grüne Punkte: Gruppengeschwindigkeit*
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# Gaußsches Wellenpaket
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Ein Wellenpaket ist eine räumlich oder zeitliche begrenzte Welle. Das Gaußsche Wellenpaket zeichnet sich dabei durch eine Gaußsche Amplitudenverteilung aus.
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Mathematisch ist das Wellenpaket definert über
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$$
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\psi(x, 0) = (\frac{2}{\pi a^{2}})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{x^{2}}{a^{2}}} e^{i k_{0} x}
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$$
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Gibt es eine [[Dispersionsrelation]] so läuft das Wellenpaket zumeist auseinander.
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*Folder tags:*
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#folder-Physikalische-Grundlagen #folder-Quantenmechanik
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@@ -64,8 +64,7 @@ Dies führte zu einem Vergleich mit dem Sonnensystem, bei dem die Elektronen um
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### Verfeinerung des Rutherford-Streuexperiments
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Das Rutherford-Streuexperiment betrachtet den Atomkern als punktförmig und ignoriert die Elektronenhülle, was für das Auflösungsvermögen meist ausreichend ist. Wir verfeinern nun diese Anschauung durch die Integration korrekter Wellenfunktionen und die Nutzung elektromagnetischer Wellen. Dabei vereinfachen wir die Wellen im Fernfeld als ebene Wellen ([[Schrödingergleichung#Erster Lösungsansatz der Schrödingergleichung]]).
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# Potential eines Atoms und das Bohrsche Atommodell
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#todo/rewrite
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# Bohrsche Atommodell
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Die Vorstellung, dass Elektronen in diskreten Bahnen um den Atomkern kreisen und dabei charakteristische Energieniveaus besetzen, wurde durch das Bohrsche Atommodell geprägt. Dieses Modell basiert auf der Coulombkraft und der Annahme, dass Elektronen nur bestimmte, durch stehende Wellen definierte, Bahnen einnehmen können. Es resultiert in diskreten Energieniveaus, die durch die verbesserte Rydberg-Formel, unter Berücksichtigung der reduzierten Masse, exakt beschrieben werden können:
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$$R_H = \frac{m_r c^2}{2} \alpha^2 Z^2$$
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@@ -74,11 +73,19 @@ Bohr stellt dabei **3 Postulate** auf:
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1. Dem Elektron stehen nicht alle klassisch möglichen Bahnen zur Verfügung, sondern nur bestimmte ausgewählte von ihnen. Auf diesen Bahnen erzeugt es keine elektromagnetische Strahlung, sondern behält seine Energie. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.
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2. Das Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Dieser als Quantensprung bezeichnete Vorgang liegt außerhalb des Gültigkeitsbereichs der klassischen Mechanik und der Elektrodynamik. Beim Quantensprung zwischen stationären Zuständen mit verschiedener Energie, den Energieniveaus, wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Dabei wird die Frequenz $f$ der Strahlung nicht durch die Umlauffrequenz des Elektrons bestimmt, sondern ausschließlich durch die Energiedifferenz $\Delta E$ der beiden Zustände nach der von Max Planck für die Wärmestrahlung entdeckten Formel $f = \frac{\Delta E}{h}$
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3. Die Frequenz der erzeugten oder absorbierten Strahlung nähert sich der Umlauffrequenz des Elektrons an, wenn sich das Elektron im Anfangszustand nur langsam bewegt und in den energetisch nächstgelegenen Zustand springt.
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## Erweiterung durch Sommerfeld
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*Arnold Sommerfeld* erweiterte in den Jahren nach 1913 das **Bohrsche Atommodell**, um einige Unstimmigkeiten und Einschränkungen zu adressieren, die im ursprünglichen Modell von *Niels Bohr* vorhanden waren.
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Das Bohrsche Atommodell und die damit verbundenen Entdeckungen bildeten die Grundlage für die Entwicklung der Quantenmechanik und die damit einhergehenden Berechnungen des [[Wasserstoffatom]]s. Sie zeigten, dass die Eigenschaften von Atomen und die Emission von Licht auf quantenmechanischen Prinzipien beruhen und nicht auf kontinuierlichen klassischen Vorstellungen.
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### Hauptbeiträge von Sommerfelds Erweiterung
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Diese Entwicklungen haben unser Verständnis der Materie grundlegend verändert und den Weg für die moderne Physik geebnet, indem sie zeigten, dass im Mikrokosmos quantenmechanische Gesetze und nicht klassische Mechanik herrschen.
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1. **Elliptische Bahnen**: Sommerfeld führte die Idee ein, dass Elektronen in Atomen nicht nur in kreisförmigen, sondern auch in elliptischen Bahnen um den Kern laufen können. Dies war eine Erweiterung des **Bohrschen Postulats**, das nur kreisförmige Bahnen berücksichtigte. Durch die Zulassung elliptischer Bahnen konnte Sommerfeld die [[Feinstruktur]] der [[Atomspektren]] erklären, die aus kleinen Aufspaltungen dieser Linien resultiert.
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2. **Quantenzahlen**: Sommerfeld erweiterte das Konzept der Quantenzahlen, die zur Beschreibung der Zustände von Elektronen in Atomen verwendet werden. Bohrs Modell verwendete eine Hauptquantenzahl $n$ zur Beschreibung der Energieebenen. Sommerfeld führte zusätzliche Quantenzahlen ein:
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- Die **Nebenquantenzahl** $l$ (oder azimutale Quantenzahl), die den Drehimpuls des Elektrons beschreibt und Werte von $0$ bis $n-1$ annehmen kann.
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- Die **magnetische Quantenzahl** $m$, die die Orientierung des Drehimpulses relativ zu einem externen Magnetfeld beschreibt und Werte von $-l$ bis $+l$ annehmen kann.
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3. **Relativistische Korrekturen**: Sommerfeld berücksichtigte die Effekte der speziellen Relativitätstheorie auf die Bewegung der Elektronen, insbesondere bei Elektronen, die sich auf stark elliptischen Bahnen mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen. Diese Korrekturen waren entscheidend für die genaue Erklärung der Feinstruktur der Spektrallinien.
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Binary file not shown.
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