#class/Ex-IV #kerne 
## Streuquerschnitt und Übergangswahrscheinlichkeit

Der Streuquerschnitt wird definiert als $\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}$, wobei die einlaufende Welle als $\psi_e = e^{i \vec{k} \vec{r}}$ und die auslaufende Welle als $\psi_a = e^{i \vec{k}' \vec{r}}$ angenommen werden. Die Übergangswahrscheinlichkeit, formuliert durch das Streupotential $V(r)$, ist (vgl. [[Fermis Goldene Regel]]) 

$$M_{fi} = \left\langle \psi_a \middle\lvert V(r) \middle\rvert \psi_e \right\rangle$$

Unter der Annahme, dass $V(r) \ll E_\text{kin}$, nutzen wir die [[Störungstheorie]] erster Ordnung, um die Übergangswahrscheinlichkeit zu ermitteln:

$$M_{fi} = \int e^{i \vec{q} \vec{r}} V(r) \mathrm{d}^3 \vec{r}$$

mit $\vec{q} = \vec{k} - \vec{k}'$ als dem Streuvektor. Dies repräsentiert die Fouriertransformation des Streupotentials. Daraus folgt für den Streuquerschnitt:

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{m^2}{4 \pi \hbar^4} \left\lvert V(q) \right\rvert^2$$

## Beispiel: Streuung an einer Punktladung

Das Streupotential einer Punktladung wird durch das Coulomb-Potential repräsentiert, was zu einem Streuquerschnitt führt, der proportional zu $\frac{1}{q^4}$ ist.

## Beispiel: Streuung an einer beliebigen Ladungverteilung

Die Streuung an einer beliebigen Ladungsverteilung führt zu einem Streupotential, das sich aus einer Faltung der Ladungsverteilung mit dem Coulomb-Potential ergibt. Dies resultiert in einem Streuquerschnitt, der ebenfalls proportional zu $\frac{1}{q^4} \left\lvert \rho(q) \right\rvert^2$ ist, wobei $\rho(q)$ die Fouriertransformierte der Ladungsdichte darstellt.

Für eine konstante Ladungsdichte innerhalb einer Kugel und deren Verschwinden außerhalb ergibt sich eine Besselfunktion als Lösung. Dies unterstützt die Annahme einer gleichmäßigen Protonenverteilung im [[Kernmodelle|Kern]] und definiert einen festen Kernradius:

$$R = \pu{{1.128} {fm}} A^{\frac`{1}{3}}$$  mit $A = N + Z$. Dieses Modell unterstützt die Vorstellung eines kompakten Kerns mit einer konstanten Ladungsdichte im Zentrum von ca. $\pu{{.17} {per cubic femto m}} \frac{Z e}{A}$. 


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