#class/Ex-V-I #gitterdynamik 
# Lineare Kette
Bei Wellenlängen, welche nah am doppelten der Gitterkonstante $d$ liegen, sehen wir eine große Differenz im verhalten eines Kristalls und eines Kontinuums (siehe [[Gitterschwingungen#Debye Verfeinerung]]). Wenn wir annehmen, dass die **lineare Kette** im Raum nur durch ihre Trägheit fixiert ist und die rückstellende Kraft der schwingenden Atome durch den interatomaren Abstand definiert wird, erhalten wir eine gegenphasige longitudinale Schwingung. Die newtonsche Bewegungsgleichung ergibt 
$$
\omega^{2}= \frac{2D}{m}(1 - \cos{kd})
$$
die **Dispersionsrelation** für longitudinale Schwingungen im **einatomigen** Gitter.
![[dispersion-einatomig.png]]

# Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Es gilt wie aus der klassischen Mechanik bekannt
$$
v_{g}= \frac{d\omega}{dk} \qquad c = \frac{\omega}{k}
$$
Für den langwelligen Grenzfall gilt aus obiger Gleichung, dass $v_{g} = c = \sqrt\frac{D}{m}d$, während für den kurzwelligen Grenzfall gilt, dass $v_{g}= 0$. Für $k = \pi/d$ (Grenze der 1. [[Brillouin-Zone]]) entwickelt sich eine stehende Welle.

# Mehratomige Gitter
Für ein Gitter mit einer Basis aus mehreren Atomen bilden sich mehrere Zweige in der Dispersionsrelation aus
![[dispersion-zweiatomig.png]]
Weiterhin entsteht eine Bandlücke zwischen ihnen.
![[akustische-optische-moden.png]]
Die *akustische* Mode ist oben abgebildet, die *optische* unten.

Allgemein gilt für ein Gitter mit $p$-atomiger Basis, gibt es 3 akustische und $3p - 3$ optische Moden.


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