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# Untersuchung der Kernstabilität mittels Hamiltonfunktion

Die Stabilität von Atomkernen lässt sich durch eine diskrete Hamiltonfunktion analysieren, wobei eine anziehende Kernkraft zwischen den Nukleonen angenommen wird. Der Hamiltonian wird approximativ als

$$\hat{H}= \sum_{i} \frac{\hat{p}_i^2}{2m} + \sum_{i<j} V(\left\lvert \hat{r}_i - \hat{r}_j \right\rvert)$$

dargestellt, was eine paarweise Wechselwirkung, aber kein Zentralkörperproblem beschreibt. Die Bewegung der Nukleonen um einen gemeinsamen Schwerpunkt resultiert aus der Impulserhaltung, was zur Separation der Schwerpunktbewegung führt:

$$\hat{H}= \sum_i \frac{\hat{p}_i^2}{2m} + \sum_i V(r_i)$$

Die Frage nach der Form des Potentials $V(r_i)$ führt auf verschiedene Modelle. Das [[Wood-Saxon-Potential]] bietet eine gute Näherung für die Beschreibung der Kernkraft, jedoch sind die resultierenden Berechnungen primär numerisch durchführbar. Daher wird oft die Näherung eines harmonischen Oszillators bevorzugt. 

Interessanterweise korrespondieren die stabilen Zustände dieses Oszillators mit den in der Natur beobachteten stabilsten Kernen. Diese Stabilität, repräsentiert durch spezifische Protonen- und Neutronenanzahlen, wird durch die sogenannten magischen Zahlen $2, 8, 20, 28, \dots$ ausgedrückt. Diese Analogie zu gefüllten Elektronenschalen untermauert die Benennung des **Schalenmodells** in der Kernphysik.
![[Ex4_0923_binding-energy.jpg]]


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