 #class/Ex-IV #QM  

# Magnetisches Dipolmoment und Larmor-Präzession

Aus der klassischen Elektrodynamik ergibt sich, dass der Bahndrehimpuls eines [[Elektron]]s einem Kreisstrom entspricht, welcher ein magnetisches Dipolmoment $\vec{\mu}$ erzeugt, definiert durch:

$$
\vec{\mu} = - \frac{e}{2m} \vec{l}
$$

In einem äußeren Magnetfeld $\vec{B}$ ist die potentielle Energie des magnetischen Dipolmoments gegeben durch $V_{\text{mag}} = - \vec{\mu} \cdot \vec{B}$, und es wirkt ein Drehmoment $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ auf den Dipol. Dies führt zu einer Präzessionsbewegung um die Feldrichtung von $\vec{B}$, bekannt als Larmor-Präzession, mit der Larmor-Frequenz $\omega_{\text{Larmor}} = -\frac{e B}{2m}$.

# Quantenmechanische Betrachtung magnetischer Dipole

Quantenmechanisch wird das magnetische Moment durch die Gleichung $V_{\text{mag}} = - \vec{\mu} \cdot \vec{B} = \pm g_l \mu_B \frac{\vec{l}}{\hbar} \cdot \vec{B}$ beschrieben, wobei $\mu_B$ das Bohrsche Magneton ist. Wählt man die $z$-Achse entlang des Magnetfeldes $\vec{B}$, ergibt sich das magnetische Potential zu $V_{\text{mag}} = \mu_B m B_z$ mit $m$ als magnetischer Quantenzahl. 

# Stern-Gerlach-Experiment

Der Versuch von *Stern* und *Gerlach* zeigte die Quantisierung des magnetischen Moments, indem ein Silberatomstrahl durch ein inhomogenes Magnetfeld geleitet wurde. Statt einer kontinuierlichen Verteilung entstanden zwei diskrete Aufschlagspunkte auf dem Detektor, was auf die Existenz des Elektronenspins hinweist.
![[Ex4_0623_Stern_Gerlach.png]]


# Einstein-de Haas-Experiment

Im *Einstein*-*de Haas*-Experiment wurde die Drehbewegung eines Zylinders aus magnetisierbarem Material beobachtet, als das Magnetfeld umgekehrt wurde. Die Drehbewegung resultierte aus der Änderung des Drehimpulses der Elektronenspins, was die Existenz des Elektronenspins weiter bestätigte.
![[Ex4_0623_EinsteinHaas.svg.png]]

# Spin und Pauli-Matrizen

Der Spin des Elektrons wird durch die Pauli-Matrizen $\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_y, \hat{\sigma}_z$ beschrieben, mit denen der Spinoperator $\hat{\vec{s}}= \frac{\hbar}{2} \vec{\hat{\sigma}}$ definiert wird. Der Eigenwert des Spinoperators $\hat{s}_z$ und des Betrags des Spinoperators $\hat{s}^2$ werden durch $\hat{s}_z \left\lvert \chi^\pm \right\rangle = \pm \frac{\hbar}{2} \left\lvert \chi^\pm \right\rangle$ und $\hat{s}^2 \left\lvert \chi^\pm \right\rangle = \frac{3}{4} \hbar^2 \left\lvert \chi^\pm \right\rangle$ beschrieben.

# Relativistische Betrachtung der Quantenmechanik

Die relativistische Betrachtung führt zur Modifikation der [[Schrödingergleichung]] und zur Einführung der Dirac-Gleichung, die eine vierkomponentige Wellenfunktion verwendet, um Teilchen mit Spin, einschließlich Elektronen und Antiteilchen, zu beschreiben.



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