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     "$$\n",
-    "\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\boldsymbol{U}\\boldsymbol{U}^T\\boldsymbol{y}=\\sum_{i=0}^{p-1}\\boldsymbol{u}_i\\boldsymbol{u}^T_i\\boldsymbol{y},\n",
+    "\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\sum_{i=0}^{p-1}\\boldsymbol{u}_i\\boldsymbol{u}^T_i\\boldsymbol{y},\n",
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+    "which is not the same as $\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\boldsymbol{U}\\boldsymbol{U}^T\\boldsymbol{y}$, which due to the orthogonality of $\\boldsymbol{U}$ would have given us that the model equals the output.\n",
+    "\n",
     "It means that the ordinary least square model (with the optimal\n",
     "parameters) $\\boldsymbol{\\tilde{y}}$, corresponds to an orthogonal\n",
     "transformation of the output (or target) vector $\\boldsymbol{y}$ by the\n",
     "vectors of the matrix $\\boldsymbol{U}$. **Note that the summation ends at**\n",
     "$p-1$, that is $\\boldsymbol{\\tilde{y}}\\ne \\boldsymbol{y}$. We can thus not use the\n",
-    "orthogonality relation for the matrix $\\boldsymbol{U}$. This can already be\n",
-    "when we multiply the matrices $\\boldsymbol{\\Sigma}^T\\boldsymbol{U}^T$."
+    "orthogonality relation for the matrix $\\boldsymbol{U}$."
    ]
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@@ -4795,7 +4796,7 @@
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@@ -4807,7 +4808,7 @@
   },
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    },
@@ -4829,7 +4830,7 @@
   },
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+   "id": "bcfd3adb",
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    },
@@ -4841,7 +4842,7 @@
   },
   {
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+   "id": "46d7227b",
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    },
@@ -4857,7 +4858,7 @@
   },
   {
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    },
@@ -4869,7 +4870,7 @@
   },
   {
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    },
@@ -4881,7 +4882,7 @@
   },
   {
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+   "id": "5083858e",
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@@ -4891,7 +4892,7 @@
   },
   {
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     "editable": true
    },
@@ -4903,7 +4904,7 @@
   },
   {
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+   "id": "4fbd0028",
    "metadata": {
     "editable": true
    },
@@ -4913,7 +4914,7 @@
   },
   {
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    },
@@ -4925,7 +4926,7 @@
   },
   {
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+   "id": "da771d96",
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     "editable": true
    },
@@ -4942,7 +4943,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "57adfaff",
+   "id": "8ecb8a62",
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    },
@@ -4954,7 +4955,7 @@
   },
   {
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+   "id": "5cf08e3d",
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    },
@@ -4966,7 +4967,7 @@
   },
   {
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-   "id": "d60431ff",
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    },
@@ -4976,7 +4977,7 @@
   },
   {
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-   "id": "f78d1dfd",
+   "id": "837a69b7",
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    },
@@ -4988,7 +4989,7 @@
   },
   {
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-   "id": "445800de",
+   "id": "21dde5ad",
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     "editable": true
    },
@@ -4998,7 +4999,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "3c54c49c",
+   "id": "4d49c112",
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    },
@@ -5010,7 +5011,7 @@
   },
   {
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    },
@@ -5020,7 +5021,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "d68d3ac1",
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    },
@@ -5032,7 +5033,7 @@
   },
   {
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    },
@@ -5042,7 +5043,7 @@
   },
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    },
@@ -5054,7 +5055,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
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+   "id": "197daa81",
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    },
diff --git a/doc/LectureNotes/_build/html/week35.html b/doc/LectureNotes/_build/html/week35.html
index 15c73ed19..0c1161977 100644
--- a/doc/LectureNotes/_build/html/week35.html
+++ b/doc/LectureNotes/_build/html/week35.html
@@ -1802,15 +1802,15 @@ decomposition of the design matrix.</p>
 <p>which gives us, using the orthogonality of the matrix <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{V}\)</span>,</p>
 <div class="math notranslate nohighlight">
 \[
-\tilde{y}_{\mathrm{OLS}}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{y}=\sum_{i=0}^{p-1}\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{u}^T_i\boldsymbol{y},
+\tilde{y}_{\mathrm{OLS}}=\sum_{i=0}^{p-1}\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{u}^T_i\boldsymbol{y},
 \]</div>
+<p>which is not the same as <span class="math notranslate nohighlight">\(\tilde{y}_{\mathrm{OLS}}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{y}\)</span>, which due to the orthogonality of <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{U}\)</span> would have given us that the model equals the output.</p>
 <p>It means that the ordinary least square model (with the optimal
 parameters) <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{\tilde{y}}\)</span>, corresponds to an orthogonal
 transformation of the output (or target) vector <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{y}\)</span> by the
 vectors of the matrix <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{U}\)</span>. <strong>Note that the summation ends at</strong>
 <span class="math notranslate nohighlight">\(p-1\)</span>, that is <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{\tilde{y}}\ne \boldsymbol{y}\)</span>. We can thus not use the
-orthogonality relation for the matrix <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{U}\)</span>. This can already be
-when we multiply the matrices <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{\Sigma}^T\boldsymbol{U}^T\)</span>.</p>
+orthogonality relation for the matrix <span class="math notranslate nohighlight">\(\boldsymbol{U}\)</span>.</p>
 </section>
 <section id="further-properties-important-for-our-analyses-later">
 <h2>Further properties (important for our analyses later)<a class="headerlink" href="#further-properties-important-for-our-analyses-later" title="Link to this heading">#</a></h2>
diff --git a/doc/LectureNotes/_build/jupyter_execute/week35.ipynb b/doc/LectureNotes/_build/jupyter_execute/week35.ipynb
index f83c664a9..d1052d6cf 100644
--- a/doc/LectureNotes/_build/jupyter_execute/week35.ipynb
+++ b/doc/LectureNotes/_build/jupyter_execute/week35.ipynb
@@ -2,7 +2,7 @@
  "cells": [
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "82c2f725",
+   "id": "f0622ebb",
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     "editable": true
    },
@@ -14,7 +14,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "d2fc786b",
+   "id": "3fe98f20",
    "metadata": {
     "editable": true
    },
@@ -27,7 +27,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "77512f33",
+   "id": "8e604e3c",
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     "editable": true
    },
@@ -49,7 +49,7 @@
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
-   "id": "41516757",
+   "id": "c7f0b40a",
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     "editable": true
    },
@@ -69,7 +69,7 @@
   },
   {
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-   "id": "d3703d2f",
+   "id": "507709a4",
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    },
@@ -102,7 +102,7 @@
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-   "id": "f22b90af",
+   "id": "bb3b5f67",
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    },
@@ -118,7 +118,7 @@
   },
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-   "id": "3fe305bb",
+   "id": "14444be5",
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    },
@@ -130,7 +130,7 @@
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   {
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+   "id": "4edc5258",
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    },
@@ -140,7 +140,7 @@
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-   "id": "c3d9a4b6",
+   "id": "4d6f9c43",
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     "editable": true
    },
@@ -152,7 +152,7 @@
   },
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-   "id": "ff3ba043",
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    },
@@ -173,7 +173,7 @@
   },
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-   "id": "5de294d5",
+   "id": "4fff6b39",
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    },
@@ -185,7 +185,7 @@
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    },
@@ -198,7 +198,7 @@
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@@ -210,7 +210,7 @@
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     "$$\n",
-    "\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\boldsymbol{U}\\boldsymbol{U}^T\\boldsymbol{y}=\\sum_{i=0}^{p-1}\\boldsymbol{u}_i\\boldsymbol{u}^T_i\\boldsymbol{y},\n",
+    "\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\sum_{i=0}^{p-1}\\boldsymbol{u}_i\\boldsymbol{u}^T_i\\boldsymbol{y},\n",
     "$$"
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    },
    "source": [
+    "which is not the same as $\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\boldsymbol{U}\\boldsymbol{U}^T\\boldsymbol{y}$, which due to the orthogonality of $\\boldsymbol{U}$ would have given us that the model equals the output.\n",
+    "\n",
     "It means that the ordinary least square model (with the optimal\n",
     "parameters) $\\boldsymbol{\\tilde{y}}$, corresponds to an orthogonal\n",
     "transformation of the output (or target) vector $\\boldsymbol{y}$ by the\n",
     "vectors of the matrix $\\boldsymbol{U}$. **Note that the summation ends at**\n",
     "$p-1$, that is $\\boldsymbol{\\tilde{y}}\\ne \\boldsymbol{y}$. We can thus not use the\n",
-    "orthogonality relation for the matrix $\\boldsymbol{U}$. This can already be\n",
-    "when we multiply the matrices $\\boldsymbol{\\Sigma}^T\\boldsymbol{U}^T$."
+    "orthogonality relation for the matrix $\\boldsymbol{U}$."
    ]
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     "$$\n",
-    "\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\boldsymbol{U}\\boldsymbol{U}^T\\boldsymbol{y}=\\sum_{i=0}^{p-1}\\boldsymbol{u}_i\\boldsymbol{u}^T_i\\boldsymbol{y},\n",
+    "\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\sum_{i=0}^{p-1}\\boldsymbol{u}_i\\boldsymbol{u}^T_i\\boldsymbol{y},\n",
     "$$"
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+    "which is not the same as $\\tilde{y}_{\\mathrm{OLS}}=\\boldsymbol{U}\\boldsymbol{U}^T\\boldsymbol{y}$, which due to the orthogonality of $\\boldsymbol{U}$ would have given us that the model equals the output.\n",
+    "\n",
     "It means that the ordinary least square model (with the optimal\n",
     "parameters) $\\boldsymbol{\\tilde{y}}$, corresponds to an orthogonal\n",
     "transformation of the output (or target) vector $\\boldsymbol{y}$ by the\n",
     "vectors of the matrix $\\boldsymbol{U}$. **Note that the summation ends at**\n",
     "$p-1$, that is $\\boldsymbol{\\tilde{y}}\\ne \\boldsymbol{y}$. We can thus not use the\n",
-    "orthogonality relation for the matrix $\\boldsymbol{U}$. This can already be\n",
-    "when we multiply the matrices $\\boldsymbol{\\Sigma}^T\\boldsymbol{U}^T$."
+    "orthogonality relation for the matrix $\\boldsymbol{U}$."
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