From b1fe7bfb2bc08ba5ba445c0f10a1f62f403b63b6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lars Bogner Date: Tue, 23 Mar 2021 18:00:36 +0100 Subject: [PATCH] Changes thanks to T.B. --- Mathematik/Mathematik.md | 6 +++--- Mathematik/Mathematik.pdf | Bin 1326335 -> 1326357 bytes 2 files changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/Mathematik/Mathematik.md b/Mathematik/Mathematik.md index 7443590..58ad81c 100644 --- a/Mathematik/Mathematik.md +++ b/Mathematik/Mathematik.md @@ -108,7 +108,7 @@ Nun müssen die allgemeinen Eigenschaften verallgemeinert werden. Beispiele hier Alle somit erhaltenen Eigenschaften müssen nun verarbeitet werden. Dabei gilt als Faustformel, dass Eigenschaften des Funktionsterms (Bsp.: "nur ungeradzahlige Exponenten") direkt auf diesen angewendet werden, Gleichungen die man erhält in ein lineares Gleichungssystem (LGS) übernommen werden und Ungleichungen zur Probe des finalen Terms genutzt werden. **Wenn eine Probe möglich ist, darf diese nicht vergessen werden.** ### Bestimmung trigonometrischer Funktionen -Zur Bestimmung von trigonometrischen Funktionen müssen die charakteristischen Eigenschaften des Graphen der Funktion zunächst betrachtet werden. Das heißt es wird bestimmt, um welche Mittellage die Funktion schwingt, was der Verschiebung in y-Richtung entspricht. Darauf folgend wird die Amplitude und Periode der Funktion betrachtet und zur Bestimmung der Streckung in y-Richtung und x-Richtung verwendet. Zuletzt wird bestimmt, um wie viel der Graph in x-Richtung verschoben ist, wozu der Durchgang des Graphen durch die Mittellage in aufsteigende Richtung zunächst gesucht wird, da dieser bei einem unverschobenen Graphen bei $x=0$ zu finden ist. +Zur Bestimmung von trigonometrischen Funktionen müssen zunächst die charakteristischen Eigenschaften des Graphen der Funktion betrachtet werden. Das heißt es wird bestimmt, um welche Mittellage die Funktion schwingt, was der Verschiebung in y-Richtung entspricht. Darauf folgend wird die Amplitude und Periode der Funktion betrachtet und zur Bestimmung der Streckung in y-Richtung und x-Richtung verwendet. Zuletzt wird bestimmt, um wie viel der Graph in x-Richtung verschoben ist, wozu der Durchgang des Graphen durch die Mittellage in aufsteigende Richtung zunächst gesucht wird, da dieser bei einem unverschobenen Graphen bei $x=0$ zu finden ist. Die genauere Funktion der Parameter, welche bei der Bestimmung gefunden werden müssen, wurde im [Abschnitt trigonometrische Funktionen](#trigonometrische-funktionen) behandelt, weshalb dieser bei diesem Aufgabentyp ebenfalls wichtig ist. ### Bestimmung exponentieller Funktionen @@ -559,7 +559,7 @@ Auch muss beachtet werden, dass in jedem Fall eine Binomialverteilung verwendet Der zweiseitige Hypothesentest ist letztlich eine Kombination aus einem rechts- und einem linksseitigen Test. Durch ihn wird eine Hypothese allgemein auf Richtigkeit überprüft. Zur Berechnung des Ablehnungsbereich werden die Ablehnungsbereiche eines linksseitigen Tests und eines rechtsseitigen kombiniert. Für diese Hypothesentests wird als Signifikanzniveau $\frac{\alpha}{2}$ genutzt, da durch Kombination das Gesamtsignifikanzniveau $\alpha$ ergibt. Auch hier gilt, dass häufig als Signifikanzniveau $\alpha = 2,5 \%$. Da der zweiseitige Hypothesentest eine Kombination aus zwei einseitigen Tests ist, wird ansonsten wie im [vorherigen Abschnitt](#einseitiger-hypothesentest) vorgegangen. Das heißt es werden ein linksseitiger Test mit $P(X \leq g_1) \leq \frac{\alpha}{2}$ und ein rechtseitiger Test mit $P(X \geq g_2) \leq \frac{\alpha}{2}$ durchgeführt und der Ablehnungsbereich $\{0, 1, ..., g_1, g_2, g_2+1, ..., n\}$ erstellt. ### Fehler -Wenn Hypothesen überprüft werden, so können zwei Arten von Fehlern auftreten. Der Fehler 1.Art ist, wenn man die Nullhypothese verwirft obwohl sie richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit, also der Wahrscheinlichkeit, welche bei der Berechnung des Ablehnungsbereichs das erste Mal die Bedingung erfüllt. Somit kann die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art vor allem durch die Veränderung des Signifikanzniveaus beeinflusst werden. +Wenn Hypothesen überprüft werden, so können zwei Arten von Fehlern auftreten. Der Fehler 1. Art ist, wenn man die Nullhypothese verwirft obwohl sie richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit, also der Wahrscheinlichkeit, welche bei der Berechnung des Ablehnungsbereichs das erste Mal die Bedingung erfüllt. Somit kann die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art vor allem durch die Veränderung des Signifikanzniveaus beeinflusst werden. Der Fehler zweiter Art ist, wenn man die Hypothese nicht verwirft obwohl diese falsch ist. Für diesen Fehler die Wahrscheinlichkeit zu berechnen ist nur möglich wenn man die reellen Werte hat. In diesem Fall, muss die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass mit der reellen Verteilung das Ergebnis im Annahmebereich, also außerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Diese Wahrscheinlichkeit für diese Art von Fehler kann am leichtesten durch die Erhöhung des Stichprobenumfangs verringert werden. @@ -577,7 +577,7 @@ Für die Ableitungen von $\varphi (x)$ gilt: $$\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = - \fr Wenn eine Wahrscheinlichkeit für normalverteilte Zufallsgrößen berechnet werden soll, wird `normalpdf` und `normalcdf` verwendet. Dabei wird `normalcdf` zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis in dem angegebenen Intervall liegt, genutzt. `normalpdf` liefert die Werte der Dichtefunktion an der angegeben Stelle. -Die Normalverteilung kann zudem verwendet werden um eine Binomialverteilung als stetige Zufallsgröße zu modellieren. Hierfür wird zunächst $\mu$ und $\sigma$ bestimmt (vgl. [Abschnitt zur Binomialverteilung](#binomialverteilung)). Nun kann die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in einem bestimmten Intervall liegt mit den Mitteln der Normalverteilung berechnet werden. Hierbei muss allerdings zumeist eine sogenannte Stetigkeitskorrektur vorgenommen werden. Da die Binomialverteilung jeweils eine Säule mit breite 1 nutzt, muss das Intervall $[a; b]$ der Normalverteilung um 0,5 in jede Richtung erweitert werden zu $[a - 0,5; b + 0,5]$ erweitert werden um der Binomialverteilung ähnliche Werte zu erhalten. +Die Normalverteilung kann zudem verwendet werden um eine Binomialverteilung als stetige Zufallsgröße zu modellieren. Hierfür wird zunächst $\mu$ und $\sigma$ bestimmt (vgl. [Abschnitt zur Binomialverteilung](#binomialverteilung)). Nun kann die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in einem bestimmten Intervall liegt mit den Mitteln der Normalverteilung berechnet werden. Hierbei muss allerdings zumeist eine sogenannte Stetigkeitskorrektur vorgenommen werden. Da die Binomialverteilung jeweils eine Säule mit Breite 1 nutzt, muss das Intervall $[a; b]$ der Normalverteilung um 0,5 in jede Richtung erweitert werden zu $[a - 0,5; b + 0,5]$ erweitert werden um der Binomialverteilung ähnliche Werte zu erhalten. # Anhang ## Grundwissen diff --git a/Mathematik/Mathematik.pdf b/Mathematik/Mathematik.pdf index 283d0b5e0dd00dd5439ca7d2f8373e027ea44d22..5a0ab30ad1741e5ea9eea5654d9e1400bc4d2dec 100644 GIT binary patch delta 9926 zcmai$Ra2b})2tWn3wL*SCpZgt4er5$OR&I=y95vJ?(XgoJV|ld!us?LL|?qJG@t3#bTpgCE+__(&16DABck& zBQsk7az?bH`Q2r__CglILUIX+;k5Qm9XLF0#AvqU=*drYW|un+TI`ldz>o}+ET$2B zgx5as3F|ZB80Q0K>a0Fv)~zOHYnNp9HPh$rvEp<#Ni!3Xaoha!9|R`ADb2@-0v403 zB8sQ3=^o%-+ywb_(cNK~`Oif3ykaPdYkn1ARGo5FoUi-4ZesGfCv+C0jk<=IaVilc z%@apcQX7qM(1#>vI&tiM_+uMqcjCu3;G_Kf+q-Udz{&6m@12$GHzWrgn%xP-?og+&+j`0!7 z$|Gk(#?>a(5#QMwM^((Qs(Ype52iN8pGuQPpnRq+D8<|S^>SWChCswCC=%4JMIcTf zm%Eaa;V(5I?r7|)(f3(wXy}VzN6{4h4ZS@ZD064j+DaZHX|!k%g&jYZp$^E%B)iyW 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